人教A版2019选修二 4.2 等差数列

试卷更新日期：2021-05-22 类型：同步测试

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一、单选题

1. 等差数列 $1$ 、 $2 a$ 、 $4 a^{2}$ 、 $\dots$ 的第五项等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、5 D、16

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} - n a_{n} = 3 n (n \in N^{*})$ ，且 $S_{3} = 15$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、100 B、110 C、120 D、130

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3. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} = a_{6}$ ， $a_{9} = a_{6}^{2}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 C、10 D、40

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4. 在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在 $(1 ， 2021]$ 的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列 ${a_{n}}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的项数为（）

A、101 B、100 C、99 D、98

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5. 设数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n} - 2 = 0$ ，则 $a_{5} + a_{6} + \cdot \cdot \cdot + a_{14} =$ （）

A、180 B、190 C、160 D、120

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6. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（）

A、10层 B、11层 C、12层 D、13层

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2020$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{12}}{12} - \frac{S_{10}}{10} = - 2$ ，则 $S_{2020} =$ （）

A、1010 B、2020 C、1011 D、2021

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 都是等差数列，设 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 1}{3 n + 2}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ （）

A、 $\frac{19}{29}$ B、 $\frac{11}{25}$ C、 $\frac{11}{17}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、多选题

9. 等差数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{7} = 3 a_{5}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{1} < 0$ C、当 $n = 5$ 时 $S_{n}$ 最小 D、 $S_{n} > 0$ 时 $n$ 的最小值为 $8$

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10. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} = 10$ ， $a_{11} = - 6$ ， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，则（）．

A、 $a_{7} = 2$ B、 $S_{10} = 54$ C、 $d = - 2$ D、 $\frac{S_{7}}{7} > \frac{S_{8}}{8}$

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11. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）

A、4 B、5 C、7 D、8

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12. 已知数列 ${\frac{a_{n}}{n + 2^{n}}}$ 是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（）

A、a₁＝3 B、若d＝1，则a_n＝n²+2ⁿ C、a₂可能为6 D、a₁ ， a₂ ， a₃可能成等差数列

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三、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} = 150$ ，则 $S_{9} =$ ．

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14. 已知数列 $\frac{1}{1 + 2} ， \frac{1}{1 + 2 + 3} ， \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} ， \dots$ ，则该数列的前 $n$ 项和为.

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15. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 5 a_{5}$ ，则 $a_{15} =$ .

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16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{m} = - 2$ ， $S_{m + 1} = 0$ ， $S_{m + 2} = 3$ ，则 $m =$ .

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四、解答题

17. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 21$ ， $a_{7} = 13$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{1} + a_{4} + a_{7} + \dots + a_{3 n - 2}$ .

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18. 设 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{4} = 1$ ， $S_{15} = 75$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n ，已知a₅＝5，S₅＝15．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设a_n＝log₂b_n ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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20. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} + a_{5} = 16$ ， $S_{6} = 36$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知等差数列数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 30 ， a_{2} + a_{6} = 16$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$ .

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22. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{7} = 13$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $S_{n^{2}} = {(S_{n})}^{2}$ .

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