山东省济南市2020年7月高一下学期数学学情检测试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{2 i}{1 - i} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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2. 甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.9.甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（）

A、0.26 B、0.72 C、0.8 D、0.98

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + \sqrt{3} b c$ ，则角 $A$ 的大小为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ D、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$

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5. 2020年起，山东省高考实行新方案.新高考规定：语文、数学、英语是必考科日，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为（）

A、相互独立事件 B、对立事件 C、不是互斥事件 D、互斥事件但不是对立事件

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6. 如图， $A$ ， $B$ 两点分别在河的两侧，为了测量 $A$ ， $B$ 两点之间的距离，在点 $A$ 的同侧选取点 $C$ ，测得 $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ B A C = 105 °$ ， $A C = 100$ 米，则 $A$ ， $B$ 两点之间的距离为（）

A、 $100 \sqrt{2}$ 米 B、 $100 \sqrt{3}$ 米 C、 $50 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 米 D、200米

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7. 作三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $P A = B C = 2$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $32 π$ B、 $8 π$ C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $2 π$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A B = A C = 2$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、－1 D、-2

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二、多选题

9. 在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图.

则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，正确的是（）

A、甲省的平均数比乙省低 B、甲省的方差比乙省大 C、甲省的中位数是27 D、乙省的极差是12

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10. 已知 $M$ 为 $△ A B C$ 的重心， $D$ 为 $B C$ 的中点，则下列等式成立的是（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ C、 $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B D}$ D、 $\vec{C M} = \frac{1}{3} \vec{C A} + \frac{2}{3} \vec{C D}$

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11. 任何一个复数 $z = a + b i$ （其中 $a$ 、 $b \in R$ ， $i$ 为虚数单位）都可以表示成： $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ 的形式，通常称之为复数 $z$ 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： $z^{n} = {[r (\cos θ + i \sin θ)]}^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ) (n \in N_{+})$ ，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）

A、 $| z^{2} | = {| z |}^{2}$ B、当 $r = 1$ ， $θ = \frac{π}{3}$ 时， $z^{3} = 1$ C、当 $r = 1$ ， $θ = \frac{π}{3}$ 时， $\bar{z} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、当 $r = 1$ ， $θ = \frac{π}{4}$ 时，若 $n$ 为偶数，则复数 $z^{n}$ 为纯虚数

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12. 如图1，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，将 $△ A D E$ ， $△ C D F$ ， $△ B E F$ 分别沿 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ 折起，使 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合于点 $P$ ，得到如图2所示的三棱锥 $P - D E F$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P D ⊥ E F$ B、平面 $P D E ⊥$ 平面 $P D F$ C、二面角 $P - E F - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、点 $P$ 到平面 $D E F$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $a + 4 i = 3 - b i$ ，其中 $a$ 、 $b \in R$ ， $i$ 为虚数单位，则 $| a + b i |$ 的值为.

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14. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：℃），则该组数据的第80百分位数为.

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15. 已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点 $A$ 出发，绕圆锥侧面一周，再次回到 $A$ 点，则该质点经过的最短路程为.

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16. 在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， $B D = \sqrt{3} A D$ ，则 $∠ A D B =$ ，若 $A C = 4 \sqrt{2}$ ，则 $△ B C D$ 面积的最大值为.

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四、解答题

17. 在① $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，② $∠ A B C = 60 °$ ，③点 $P$ 在平面 $A B C$ 内的射影为 $△ A B C$ 的垂心，这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答.三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = A B = A C = 6$ .若 ▲ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积. 注：如果选择多种条件组合分别解答，按第一种解答计分.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, - 1)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，求向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 的夹角.

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19. 4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.

(1)、已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；

(3)、为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从 $[10 ， 12)$ 和 $[12 ， 14]$ 两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率.

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20. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $A B_{1} //$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(3)、若 $A A_{1} = A B$ ，求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $C D = \frac{1}{2} \sqrt{2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}$ .

(2)、已知 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $C D = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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22. 某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产其款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为

A

等品，低于10分的为

B

等品.厂家将

A

等品售价定为2000元/件，

B

等品售价定为1200元/件.

下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i} = 9.97$ ， $s^{2} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2} = 0.045$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第i件产品的评分， $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 16$ .

该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔1500万元的资金.

(1)、若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分.

（i）估计改进后该生产线生产的产品中 $A$ 等品所占的比例；

（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差.

(2)、某金融机构向该厂推销一款年收益率为

8.2 %

的理财产品，请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）

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