山东省菏泽市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = 1 + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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2. 数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（）

A、3 B、3.5 C、3.6 D、4

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3. 设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{B C} = 3 \vec{D C}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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4. 若圆锥的底面半径为 $3 cm$ ，侧面积为 $15 π {cm}^{2}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $4 π$ $c m^{3}$ B、 $9 π$ $c m^{3}$ C、 $12 π$ $c m^{3}$ D、 $36 π$ $c m^{3}$

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5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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6. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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7. 如图所示，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1，则四棱锥 $A - B_{1} B C C_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $C - A = \frac{π}{2}$ ， $\sin B = \frac{1}{3}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 下列命题中，正确的是（）

A、复数的模总是非负数 B、复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应 C、如果复数 $z$ 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D、相等的向量对应着相等的复数

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10. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（）

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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11. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| \vec{b} - 2 \vec{a} | = \sqrt{5}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ D、 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = 60 °$

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12. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $△ A_{1} D E$ （点 $A_{1}$ 不落在底面 $B C D E$ 内），若 $M$ 在线段 $A_{1} C$ 上（点 $M$ 与 $A_{1}$ ， $C$ 不重合），则在 $△ A D E$ 翻转过程中，以下命题正确的是（）

A、存在某个位置，使 $D E ⊥ A_{1} C$ B、存在点M，使得 $B M ⊥$ 平面 $A_{1} D C$ 成立 C、存在点M，使得 $M B //$ 平面 $A_{1} D E$ 成立 D、四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 体积最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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三、填空题

13. 复数 $\frac{1}{1 - i} =$ .

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14. 若正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则它的外接球的体积为．

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15. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 $x$ ， $y$ ，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则 $| x - y |$ 的值为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\vec{m} = (\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $\vec{n} = (\sin x ， \cos x)$ ， $x \in (0 ， π)$ .若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $x =$ ；若存在两个不同的 $x$ 值，使得 $| \vec{n} + \vec{m} | = t | \vec{n} |$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z} = 2$ ，且 $z$ 的虚部为 $- 1$ ， $z$ 在复平面内所对应的点在第四象限.

(1)、求 $z$ ；

(2)、若 $z$ ， $z^{2}$ 在复平面上对应的点分别为 $A$ ， $B$ ， $O$ 为坐标原点，求 $∠ O A B$ .

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $x$ ；

(2)、若 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = 30 °$ ，求 $x$ .

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19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以 $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200)$ ， $[200 ， 220)$ ， $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300]$ 分组的频率分布直方图如图.

(1)、求直方图中 $x$ 的值；

(2)、在月平均用电量为 $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ 的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在 $[240 ， 260)$ 的用户中应抽取多少户？

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是矩形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $M$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点. $C C_{1} = A C = 2$ ， $∠ A C C_{1} = 60 °$ .

(1)、求证： $A M ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若 $N$ 是 $A B$ 的中点，求证： $C N //$ 平面 $A B_{1} M$ .

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21. 在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = B C = C D = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $∠ A = \frac{π}{6}$ ，求 $\sin ∠ B D C$ ；

(2)、求 $\sqrt{3} \cos A - \cos C$ .

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22. 为进一步增强全市中小学学生和家长的防溺水安全意识，特在全市开展“防溺水安全教育”主题宣传活动.该市水利部门在水塘等危险水域设置警示标志，警示标志如下图所示.其中 $A B C D$ ， $A E F G$ ， $G M N D$ 均为正方形，且 $A B = \sqrt{2}$ ， $A E = 1$ .其中 $A M$ ， $A N$ 为加强支撑管.

(1)、若 $A G ⊥ A D$ 时，求 $A$ 到地面距离；

(2)、若记 $∠ G A D = θ (0 < θ < π)$ ，求支撑管 $A N$ 最长为多少？

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