山东省滨州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = (1 - i) + m (1 + i)$ 是纯虚数，则实数m＝（　　）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、1

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2. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是（）

A、7.5 B、8 C、8.5 D、9

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3. 设 $α$ 为平面， $a$ ， $b$ 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）

A、若 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a / / b$ B、若 $a ⊥ α$ ， $a / / b$ ，则 $b ⊥ α$ C、若 $a ⊥ α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $b / / α$ D、若 $a / / α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $b ⊥ α$

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4. 已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ，那么向量 $\vec{M N}$ =（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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5. 已知圆锥的表面积为 $3 π$ ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 如图所示，为了测量山高 $M N$ ，选择 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 作为测量基点，从 $A$ 点测得 $M$ 点的仰角 $∠ M A N = 60^{\circ}$ ， $C$ 点的仰角 $∠ C A B = 45^{\circ}$ ， $∠ M A C = 75^{\circ}$ ，从 $C$ 点测得 $∠ M C A = 60^{\circ}$ ．已知山高 $B C = 500 m$ ，则山高 $M N$ （单位： $m$ ）为（　　）

A、 $750$ B、 $750 \sqrt{3}$ C、 $850$ D、 $850 \sqrt{3}$

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，原点 $O$ 为正八边形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5} P_{6} P_{7} P_{8}$ 的中心， $P_{1} P_{8} ⊥ x$ 轴，若坐标轴上的点 $M$ （异于点 $O$ ）满足 $\vec{O M} + \vec{O P_{i}} + \vec{O P_{j}} = \vec{0}$ （其中 $1 \leq i ， j \leq 8$ ，且 $i$ 、 $j \in N^{*}$ ），则满足以上条件的点 $M$ 的个数为（　　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、多选题

9. 已知复数z满足（1﹣i）z＝2i ，则下列关于复数z的结论正确的是（　　）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ＝﹣1﹣i C、复平面内表示复数z的点位于第二象限 D、复数z是方程x²+2x+2＝0的一个根

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10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）

A、样本中女生人数多于男生人数 B、样本中B层人数最多 C、样本中E层次男生人数为6人 D、样本中D层次男生人数多于女生人数

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11. 已知事件 $A$ ， $B$ ，且 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.2$ ，则下列结论正确的是（）

A、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A \cup B) = 0.2$ ， $P (A B) = 0.5$ B、如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P (A \cup B) = 0.7$ ， $P (A B) = 0$ C、如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P (A \cup B) = 0.7$ ， $P (A B) = 0$ D、如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.4$ ， $P (A \bar{B}) = 0.4$

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12. 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（　　）

A、若点M ， N分别是线段 $A^{'} A ， A^{'} D^{'}$ 的中点，则MN∥BC′ B、点C到平面 $A B C^{'} D^{'}$ 的距离为 $\sqrt{2}$ C、直线BC与平面 $A B C^{'} D^{'}$ 所成的角等于 $\begin{array}{r} π \\ 4 \end{array}$ D、三棱柱 $A A^{'} D^{'} ﹣ B B^{'} C^{'}$ 的外接球的表面积为3π

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三、填空题

13. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $b \cos C + c \cos B = a \sin A$ ，则 $A =$ .

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14. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b}) = - 18$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 如图，在三棱锥 $V - A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $V A = V B$ ， $V C = 1$ ，且 $A V ⊥ B V$ ， $A C ⊥ B C$ ，则二面角 $V - A B - C$ 的余弦值是．

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16. 已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，…， $x_{n}$ 的平均数为10，方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， $2 x_{3} - 1$ ，…， $2 x_{n} - 1$ 的平均数为，方差为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 2) ， \overset{⇀}{b} = (4 ， - 3)$ .

(1)、若向量 $\overset{⇀}{c} / / \overset{⇀}{a}$ ，且 $| \overset{⇀}{c} | = 2 \sqrt{5}$ ，求 $\overset{⇀}{c}$ 的坐标；

(2)、若向量 $\overset{⇀}{a} + k \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{a} - k \overset{⇀}{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值.

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18. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，且 $a = \sqrt{7}$ ， $c = 1$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $b$ 及 $△ A B C$ 的面积 $S$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边上一点，且， ▲ ，求 $∠ A D B$ 的正弦值．
从① $A D = 1$ ，② $∠ C A D = \frac{π}{6}$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．

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19. 在四面体 $A - B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $M$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 的中点，且 $B D = A C = 2$ ， $E M = 1$ .

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角.

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20. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队每人回答问题正确的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．

(1)、分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

(2)、求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．

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21. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $PA ⊥ AB$ ， $PA ⊥ BC$ ， $AB ⊥ B C$ ， $PA = AB = BC = 2$ ， $D$ 为线段 $A C$ 的中点， $E$ 为线段 $P C$ 上一点．

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、当 $P A / /$ 面 $B D E$ 时，求三棱锥 $E - B C D$ 的体积．

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22. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；

（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

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