湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $\cos α > 0 ， \tan α > 0$ ，则角 $α$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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2. 下列命题正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$ B、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ D、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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3. 函数f（x）=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）的最小正周期为（）

A、4π B、2π C、π D、 $\frac{π}{2}$

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4. $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，如果 $s_{10} = 120$ ，那么 $a_{1} + a_{10}$ 的值是（）

A、12 B、24 C、36 D、48

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5. 下列结论正确的是（）

A、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ B、若 $a^{8} > b^{8}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ， $c < 0$ ，则 $a c < b c$ D、若 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ ，则 $a > b$

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6. 已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（）

A、 $\vec{F D} + \vec{D A} = \vec{F A}$ B、 $\vec{F D} + \vec{D E} + \vec{E F} = \vec{0}$ C、 $\vec{D E} + \vec{D A} = \vec{E C}$ D、 $\vec{D E} + \vec{D A} = \vec{F D}$

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7. 若 $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $\tan β = - \frac{1}{3}$ ，则 $\tan (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{5}{7}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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8. 已知向量 $\vec{a}$ =（0，5），向量 $\vec{b}$ =（3，-1），若 $μ \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直，则 $μ =$ （）

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9. 在△ABC中，已知A ， B ， C成等差数列，且b=3，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C}$ =（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、3 D、6

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10. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 图象，则函数的解析式是（）

A、 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{6})$

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11. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）

A、60里 B、48里 C、36里 D、24里

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12. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为 $A ， B ， C$ 的对边， $A = 60^{°} ， b = 1$ ，这个三角形的面积为 $\sqrt{3}$ ，则a=（）

A、2 B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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二、填空题

13. $\cos 15^{\circ} \cos 75^{\circ} + \sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ}$ 的值为.

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 2 ， a_{7} = 8 ，$ 则a₅= ．

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15. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ =.

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16. 设 $x > 1$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} + 5$ 的最小值为

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三、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ， $\vec{a} = (1 ， 2)$ .

(1)、若 $\vec{b} = (0 ， 1)$ ，求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{b} = (2 ， m)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 共线，求实数m的值.

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18. 已知 $\cos α = - \frac{1}{7}$ ， $α \in (0 ， π)$ .

(1)、求 $\cos^{2} \frac{α}{2}$ 的值；

(2)、若 $\cos (α + β) = - \frac{1}{2}$ ， $β \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，求 $\cos β$ 的值.

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19. 已知 $f (x) = (x - a) (x - 2)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) < 0$ .

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20. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为 $30^{°}$ 、 $60^{°}$ 、 $45^{°}$ ，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.

(1)、求出线段AE的长度；

(2)、求出隧道CD的长度.

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 45$ ， $S_{6} = 60$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} - b_{n} = a_{n}$ （n∈N^*）且 $b_{1} = 3$ .设数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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22. 已知 $0 \leq φ < π$ ，函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (2 x + φ) + \sin^{2} x$ ．
（Ⅰ）若 $φ = \frac{π}{6}$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）若 $f (x)$ 的最大值是 $\frac{3}{2}$ ，求 $φ$ 的值．

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