湖南省张家界市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 5与11的等差中项是（）

A、7 B、7 C、9 D、10

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2. 直线 $\sqrt{3} x + 3 y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x | 2 x - 3 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(\frac{3}{2}, 3)$ B、 $(- 3, \frac{3}{2})$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(- 2, \frac{3}{2})$

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4. 直线 $3 x + 4 y - 3 = 0$ 与直线 $6 x + m y + 9 = 0$ 平行，则它们的距离为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、2

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5. 下列不等式一定成立的是（）

A、 $\lg (x^{2} + \frac{1}{4}) > \lg x$ $(x > 0)$ B、 $\sin x + \frac{1}{\sin x} \geq 2$ $(x \neq k π, k \in Z)$ C、 $x^{2} + 1 \geq 2 | x |$ $(x \in R)$ D、 $\frac{1}{x^{2} + 1} \geq 1$ $(x \in R)$

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6. 已知圆 $M : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4$ 与圆 $N : x^{2} + y^{2} = 9$ ，则两圆的位置关系为（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、外离

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7. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，给出以下结论：①点 $A (1, 3, - 4)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为 $(- 1, - 3, 4)$ ；②点 $P (- 1, 2, 3)$ 关于 $x O y$ 平面对称的点的坐标是 $(- 1, 2, - 3)$ ；③已知点 $A (- 3, 1, 5)$ 与点 $B (4, 3, 1)$ ，则 $A B$ 的中点坐标是 $(\frac{1}{2}, 2, 3)$ ；④两点 $M (- 1, 1, 2), N (1, 3, 3)$ 间的距离为5.其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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8. 在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点，则DE与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = - 2019$ ， $\frac{S_{2019}}{2019} - \frac{S_{2004}}{2004} = 15$ ，则 $S_{2020} =$ （）

A、2020 B、2019 C、0 D、-2020

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10. 若 $E ， F$ 为等腰直角 $△ A B C$ 斜边 $A B$ 上的两个三等分点，则 $\tan ∠ E C F =$ （）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中a，b，c是 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边，若 $\sin B = 2 \sin A \cos C$ 且 $b^{2}$ ， $2$ ， $c^{2}$ 成等差数列，则 $△ A B C$ 面积S的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ C、1 D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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二、多选题

12. 下列说法中，正确的是（）

A、平行于同一直线的两个平面平行 B、平行于同一平面的两个平面平行 C、一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D、一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

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三、填空题

13. 在三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，且 $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则角C=.

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14. 圆C的圆心为 $(2, - 1)$ ，且圆C与直线 $3 x - 4 y - 5 = 0$ 相切，则圆C的方程为.

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15. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱垂直于底面，且 $A C = \sqrt{3}, B C = 1, A B = A A_{1} = 2$ ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．

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16. 如图：某景区有景点A，B，C，D，经测量得， $B C = 3 km$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $\sin ∠ B A C = \frac{\sqrt{21}}{14}$ ， $∠ A C D = 60^{\circ} ， C D = A C$ ，则 $A D =$ km. 现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A，D的视角 $∠ A M D = 120 °$ ，为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为km.

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四、解答题

17. 已知三角形的三个顶点是 $A (4 ， 0)$ ， $B (6 ， - 7)$ ， $C (0 ， - 3)$ ．

(1)、求 $B C$ 边上的中线所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程．

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18. 在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 是角 $A ， B ， C$ 所对的边， $sin B - sin C = sin (A - C)$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，且 $Δ A B C$ 的面积是 $3 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的值．

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19. 若不等式 $- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x > m x$ 的解集为 ${x | 0 < x < 2}$ .

(1)、求m的值；

(2)、已知正实数a，b满足 $a + 4 b = m a b$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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20. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(1)、证明： $P B //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、若三棱锥C—ADE的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求PC与底面所成角的大小.

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21. 设直线l的方程为 $(a + 1) x + y = a + 2$ $(a \in R)$ .

(1)、若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)、a为何值时，直线l被圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 4 = 0$ 截得的弦长最短，并求最短弦长.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = - n^{2} + 2 k n$ （其中 $k \in N^{*}$ ），且 $S_{n}$ 的最大值为16.

(1)、求常数k的值；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、记数列 ${\frac{9 - a_{n}}{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 4$ .

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