湖南省益阳市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $\tan α > 0$ 且 $\cos α < 0$ ，则 $α$ 的终边在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. $\sin^{2} \frac{π}{12} - \cos^{2} \frac{π}{12}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中采用系统抽样的方法随机抽取5枚来进行发射实验，则所选取5枚导弹的编号可能是（）

A、5，10，15.20，25 B、3，13，23，33，43 C、1，2，3，4，5 D、2，4，6，16.32

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4. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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5. 盒子中有标号为1，2，3，4的四个小球，这四个小球大小形状完全相同，首先从中任取一个球，记下标号后放回，再任取一个球，记下标号，则取到的两个标号之和大于6的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{5}{16}$

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6. 从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）

A、甲班同学身高的方差较大 B、甲班同学身高的平均值较大 C、甲班同学身高的中位数较大 D、甲班同学身高在175cm以上的人数较多

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7. 函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的单调递增区间为（）

A、 $[k π - \frac{7 π}{12} ， k π - \frac{π}{12}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π - \frac{7 π}{6} ， 2 k π - \frac{π}{6}] (k \in Z)$ C、 $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π - \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$

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8. 在 $△ O M N$ 中， $O M = 1$ ， $O N = \sqrt{3}$ ， $M N = 2$ ，在 $△ O M N$ 内任取一点，该点到点M的距离大于1的概率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{9}$ B、 $1 - \frac{\sqrt{3} π}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{18}$ D、 $1 - \frac{\sqrt{3} π}{18}$

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9. 已知 $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{6} + 1}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6} - 1}{6}$

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10. 已知向量 $\vec{m} = (2 \cos^{2} x ， \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (1 ， - \sin 2 x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，下列关于函数 $f (x)$ 的描述正确的是（）

A、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 C、相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ D、在 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 上是增函数

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11. 函数 $y = \cos 2 x - \cos x - 2 (x \in R)$ 的值域为（）

A、 $[- \frac{49}{16}, + \infty)$ B、 $[- \frac{25}{8}, + \infty)$ C、 $[- \frac{49}{16}, - 2]$ D、 $[- \frac{25}{8}, 0]$

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12. 如图是由等边 $△ A I E$ 和等边 $△ K G C$ 构成的六角星，图中 $B$ ， $D$ ， $F$ ， $H$ ， $J$ ， $L$ 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为 $O$ ，若 $\vec{O A} = λ \vec{O L} + μ \vec{O C}$ ，则 $λ - μ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、1

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} - \vec{a} = (x, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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14. 若 $\cos (\frac{π}{4} - θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\sin 2 θ =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = \sqrt{26}$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{A G} \cdot \vec{B C} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \sin π x + a \cos π x$ 的图像关于直线 $x = \frac{1}{6}$ 对称，当 $x \in [0 ， \frac{3}{2}]$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 0$ 恰有两个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知角 $α$ 的终边过点 $A (- 1, m)$ ，且 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5} m (m \neq 0)$

(1)、求非零实数 $m$ 的值；

(2)、当 $m > 0$ 时，求 $\frac{\sin (2 π - α) + \cos (π + α)}{\cos (α - π) - \cos (\frac{3 π}{2} - α)}$ 的值．

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18. 假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

x（年）

1

2

3

4

5

y（万元）

5

6

7

8

10

由资料可知y对x呈线性相关关系．

(1)、求y关于x的线性回归方程；

(2)、请估计该设备使用年限为15年时的维修费用.
参考公式：线性回归方程 $y = \hat{b} x + a$ 的最小二乘法计算公式：

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1 \times 5 + 2 \times 6 + 3 \times 7 + 4 \times 8 + 5 \times 10 = 120$

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19. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的值域．

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20. 世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续100天监视空气质量指数（AQI），将这100天的AQI数据分为五组，各组对应的区间为 $[0 ， 50) ， [50 ， 100) ， [100 ， 150) ， [150 ， 200) ， [200 ， 250]$ .并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图.

(1)、请将频率分布直方图补充完整；

(2)、已知空气质量指数AQI在 $[0 ， 50)$ 内的空气质量等级为优，在 $[50 ， 100)$ 内的空气质量等级为良，分别求这100天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；

(3)、在（2）的条件下，在空气质量等级为优和良的天数中，先按分层抽样的方法已经选定了6天，然后再从这6天中任取两天，求这两天的空气质量等级相同的概率.

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21. 如图，四边形 $A B O C$ 是边长为1的菱形， $∠ C A B = 120 °$ ， $E$ 为 $O C$ 中点．

(1)、求 $| \vec{B C} |$ 和 $| \vec{B E} |$ ；

(2)、若点 $M$ 满足 $M E = M B$ ，问 $\vec{B E} \cdot \vec{B M}$ 的值是否为定值？若是定值请求出这个值；若不是定值，说明理由．

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22. 已知 $\vec{a} = (2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) ， 1)$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{2} ， \sin^{2} x - \frac{1}{2} \cos 2 x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 10 ， 10]$ 内的零点的个数；

(3)、将 $f (x)$ 的图像先向下平移 $\frac{1}{2}$ 个单位，再把横坐标变为原来的 $\frac{2}{ω}$ 倍，纵坐标不变，其中 $ω > 0$ ，得到 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上恒满足 $g (x) \leq g (\frac{π}{4})$ ，求 $ω$ 所有可取的值．

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x（年）	1	2	3	4	5
y（万元）	5	6	7	8	10