黑龙江省大庆市2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数 $- 1$ ， $- \sqrt{2}$ ，0， $\frac{1}{4}$ 中，最小的实数是（）．

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{4}$ C、0 D、 $- \sqrt{2}$

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2. 某种芯片每个探针单元的面积为 $0.00000164 c m^{2}$ ，0.00000164用科学记数法可表示为（）

A、 $1.64 \times 10^{- 5}$ B、 $1.64 \times 10^{- 6}$ C、 $16.4 \times 10^{- 7}$ D、 $0.164 \times 10^{- 5}$

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3. 若 $| a - 2 |$ 与 $| b + 3 |$ 互为相反数，则 $a + b$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、5 D、-5

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4. 函数y＝ $\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、x＞﹣2 B、x≥﹣2 C、x＞﹣2且x≠1 D、x≥﹣2且x≠1

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5. 已知k₁＞0＞k₂ ，则函数y=k₁x和y= $\frac{k_{2}}{x}$ 的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是（）

A、油 B、战 C、加 D、役

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7. 某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：

年收入/万元

4

6

8

10

人数/人

3

4

2

1

则他们年收入数据的众数与中位数分别为（）

A、4，6 B、6，6 C、4，5 D、6，5

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8. 一个圆锥和一个圆柱的高相等，若要使体积一样，圆锥底面积应是圆柱底面积的（）

A、3倍 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $π$ 倍 D、 $\frac{1}{π}$

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9. 一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）

A、一种 B、两种 C、三种 D、四种

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10. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与直线 $y = x$ 交于点 $C$ .，在线段 $O A$ 上，动点 $P$ 以每秒1个单位长度的速度从点 $O$ 出发向点 $A$ 做匀速运动，过点 $P$ 作 $P E ⊥ x$ 轴交直线 $O C$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F / / x$ 轴交直线 $A B$ 于点 $F$ ， $F Q ⊥ x$ 轴于点 $Q$ ，设运动时间为 $t$ 秒，四边形 $P E F Q$ 的面积为 $S$ （点 $P$ ， $Q$ 重合除外），在运动过程中，当 $S = \frac{16}{3}$ 时， $t$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{4 - \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{4 + \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{4 + 4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 + 4 \sqrt{2}}{3}$ 或 $\frac{4 - 4 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中，点 $(2, - 1)$ 关于x轴对称的点的坐标为．

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12. 因式分解：a²+ab﹣a＝．

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13. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ .若 $D E = 3$ ， $A E = 5$ ，则 $△ A C E$ 的周长为.

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14. 如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2 =$ .

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15. 某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是.

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16. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，则第5个图案中黑色三角形的个数为个.

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17. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ：
①若方程两根为-1和2，则 $2 a + c = 0$ ；②若 $b > a + c$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；③若 $b = 2 a + 3 c$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；④若 $m$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $b^{2} - 4 a c = {(2 a m + b)}^{2}$ 成立.其中正确的是.

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18. 如图，边长为2的等边三角形 $A B C$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 内（包括 $△ A B C$ 的边）一动点，且满足 $D C^{2} = A D^{2} + B D^{2}$ ，则点 $D$ 运动的路径的长度为.

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三、解答题

19. 计算： ${(- 2)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{9}$ ．

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20. 先化简，再求值： ${(x - 1)}^{2} + (x + 2) (x - 2) + (x - 3) (x - 1)$ ，其中 $x = 3$

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21. 解分式方程： $\frac{1 - x}{x - 2} = \frac{1}{2 - x} + 2$

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22. 大庆市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 $C D$ ；如图所示，一架水平飞行的无人机在 $A$ 处测得正前方河流左岸 $C$ 处的俯角为 $α$ ，无人机沿水平线 $A F$ 方向继续飞行50米至 $B$ 处，测得正前方河流右岸 $D$ 处的俯角为30°；线段 $A M$ 的长为无人机距地面的铅直高度，点 $M$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上；其中 $\tan α = 2$ ， $M C = 50 \sqrt{3}$ 米；求河流的宽度 $C D$ .（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 在镇村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签定了农产品销售合同，并于今年在自家荒地种植了A，B，C，D四种不同品种的树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为 $90 \frac{0}{0}$ ，几个品种果树树苗种植情况及其成活情况分别绘制在下列图①和图②两个尚不完整的统计图中．

(1)、种植B品种树苗有多少棵；

(2)、请你将图②的统计图补充完整；

(3)、通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高?

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24. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD，AC，BC于点E，O，F，连接CE和AF．

(1)、求证：四边形AECF为菱形；

(2)、若AB=4，BC=8，求菱形AECF的周长．

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25. 黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元.

(1)、甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

(2)、设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：

销售单价x（元/件）

11

19

日销售量y（件）

18

2

请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式.

(3)、在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

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26. 如图在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图像经过点 $A (0 ， - 4)$ 、 $B (2 ， 0)$ 交反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ $(x > 0)$ 的图像于点 $C (3 ， a)$ ，点 $P$ 在反比例函数的图象上，横坐标为 $n$ $(0 < n < 3)$ ， $P Q / / y$ 轴交直线 $A B$ 于点 $Q$ ， $D$ 是 $y$ 轴上任意一点，连接 $P D$ 、 $Q D$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ D P Q$ 面积的最大值.

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27. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ， $△ A D E$ 是以 $A D$ 为斜边的直角三角形，且满足 $∠ E A D = ∠ D A B$ ， $D E = D C$

(1)、求证： $D E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $D E^{2} = E F \cdot B D$ ；

(3)、若 $A B = 1$ ，求 $B D$ 的长

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28. 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + 4 a x + 4 a - 6 (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ .，直线 $D C$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，且 $O E = \frac{5}{2}$ ，

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图②，若 $N$ 为 $O C$ 的中点，动点 $P$ 在第三象限的抛物线上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，交 $A N$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $F H ⊥ D E$ ，垂足为 $H$ .设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，记 $f = F P + F H$ ，用含 $t$ 的代数式表示 $f$ ；

(3)、若 $- 5 < t \leq m (m < 0)$ ，求（2）中 $f$ 的最大值

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年收入/万元	4	6	8	10
人数/人	3	4	2	1

销售单价x（元/件）	11	19
日销售量y（件）	18	2