广东省汕尾市海丰县2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数 $- 2, π, - 6$ ，3中，最大的实数是（）

A、 $- 6$ B、 $- 2$ C、3 D、 $π$

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2. 2020年，全球经济受到重创，世界主要经济体中，仅中国实现经济正增长．据国家统计局统计，2020年我国国内生产总值约为1015986.2亿元，增速达到了2.3%，用科学记数法表示1015986.2亿为（）

A、 $1015986.2 \times 10^{8}$ B、 $1 .0159862 \times 10^{10}$ C、 $1.0159862 \times 10^{14}$ D、 $10.159862 \times 10^{13}$

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3. 下列几何体中，其主视图为三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- a^{3})}^{2} = {(a^{3})}^{2}$ B、 ${(2 a)}^{3} = 6 a^{3}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $a \cdot a^{4} = a^{4}$

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5. 下列所示的标识或简图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，如图，依次制成编号为 $W ， G ， D ， R ， X$ 的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）．将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．则抽到的两张卡片恰好是编号为 $W$ （ $5 G$ 基站建设）和 $R$ （人工智能）的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{20}$

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $5 x^{2} + k x - 6 = 0$ 的一个根是2，则另一个根是（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、3 D、 $- 3$

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8. 如图， $A ， B$ 是 $⊙ O$ 上的点， $∠ A O B = 120 ° ， C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点．若 $⊙ O$ 的半径为5，则四边形 $A C B O$ 的面积为（）

A、25 B、 $25 \sqrt{3}$ C、 $\frac{25 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{25 \sqrt{3}}{2}$

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $(4 ， 0)$ ，其对称轴为直线 $x = 1$ ，下列结论错误的是（）

A、抛物线与 $x$ 轴的另一个交点是 $(- 2 ， 0)$ B、 $a b c > 0$ C、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、 $a + b + c < 0$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $D E = 3 A E ， B E ⊥ A C$ 于点F，连接 $D F$ ．分析下列四个结论：① $△ A E F ∽ △ C A B$ ；② $C F = 3 A F$ ；③ $S_{△ C D F} = S_{△ C B F}$ ；④若 $B C = 4$ ，则 $\tan ∠ A C B = \frac{1}{2}$ ．其中正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ =；

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12. 计算： $\sqrt{4} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} =$

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13. 已知： $a + b = 12, a b = 24$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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14. 在平面直角坐标系中，线段 $A B$ 在 $x$ 轴上， $A B = 2$ ，且点 $A (\frac{1}{2}, 0)$ ，则点 $B$ 的坐标是．

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15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - k x + 36 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①以点 $C$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A C ， B C$ 于点 $D ， E$ ；②以点 $B$ 为圆心， $C E$ 长为半径在 $∠ C B A$ 内画弧，交 $B C$ 于点 $F$ ；③以点 $F$ 为圆心， $E D$ 长为半径画弧，两弧交于点 $G$ ；④作射线 $B G$ 交 $A C$ 于点 $P$ ．若 $∠ C = 45 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ A B P$ 的度数为．

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17. 如图， $▱ O A B C$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴的负半轴上，点 $D (- 3 ， 2)$ 在对角线 $O B$ 上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 的图象经过 $C ， D$ 两点．已知 $▱ O A B C$ 的面积是 $\frac{15}{2}$ ，则点 $B$ 的坐标为

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三、解答题

18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x ⩾ - 6 \\ - 2 (x - 7) > 4 \end{array}$

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19. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ .

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 在 $A D$ 上，求证： $B E = C E$ ．

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21. 某单位食堂为全体960名职工提供了 $A ， B ， C ， D$ 四种套餐．为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取了240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

(1)、在抽取的240人中最喜欢 $A$ 套餐的人数为，扇形统计图中“ $C$ ”对应扇形的圆心角的大小为°；

(2)、补全条形统计图；

(3)、依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢 $B$ 套餐的人数．

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22. 粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今年投资9000万元改装260辆 $A$ 型、 $B$ 型两款无人驾驶出租车投放市场．已知每辆 $A$ 型无人驾驶出租车的改装费用是50万元，每辆 $B$ 型无人驾驶出租车的改装费用是30万元．

(1)、今年改装的 $A$ 型、 $B$ 型无人驾驶出租车各是多少辆？

(2)、预计明年两种型号的无人驾驶出租车的改装费用都可下降20%，集团拟在明年再改装500辆两种型号的无人驾驶出租车，且要使 $B$ 型无人驾驶出租车的数量不多于 $A$ 型无人驾驶出租车数量的2倍，但要使投入的改装费用最少，那么要改装 $A 、 B$ 两种型号的无人驾驶出租车各多少辆？最少费用是多少万元？

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23. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ D C A = ∠ B$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E ， D E$ 交 $A C$ 于点 $F ， C D = 10 ， \tan A = \frac{3}{4}$ ，求 $C F$ 的长．

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24. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 之间的关系问题”进行了以下探究：

(1)、类比探究：
如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $B C$ 为斜边，分别以 $A B ， A C ， B C$ 为直径，向外侧作半圆，则面积 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 之间的关系式为；

(2)、推广验证：
如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $B C$ 为斜边，分别以 $A B ， A C ， B C$ 为边向外侧作 $△ A B D$ ， $△ A C E ， △ B C F$ ，满足 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 ， ∠ D = ∠ E = ∠ F$ ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展应用：
如图4，在五边形 $A B C D E$ 中， $∠ A = ∠ E = ∠ C = 105 ° ， ∠ A B C = 90 ° ， A B = 2 \sqrt{3} ， D E = 2$ ，点 $P$ 在 $A E$ 上， $∠ A B P = 30 ° ， P E = \sqrt{2}$ ，求五边形 $A B C D E$ 的面积．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $S_{△ P B C} = S_{△ A B C}$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、点 $M$ 为直线 $B C$ 下方抛物线上一点，点 $N$ 为 $y$ 轴上一点，当 $△ M B C$ 的面积最大时，求 $M N + \frac{1}{2} C N$ 的最小值．

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