北京市东城区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（）

A、三棱柱 B、长方体 C、圆柱 D、圆锥

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2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，下列函数的图象不过点 $(1,1)$ 的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = - x + 1$ D、 $y = x^{3}$

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3. 2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475 000 000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000科学记数法表示应为（）

A、 $4.75 \times 10^{7}$ B、 $4.75 \times 10^{8}$ C、 $4.75 \times 10^{9}$ D、 $475 \times 10^{6}$

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4. 一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与 $∠ 1$ 相等的角是（）

A、 $∠ 2$ B、 $∠ 3$ C、 $∠ 4$ D、 $∠ 5$

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5. 如图， $△ A B C$ 经过旋转或轴对称得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）

A、b+c＞0 B、a-b＞a-c C、ac＞bc D、ab＞ac

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7. 如图，PA，PB是 $⊙ O$ 的切线，切点分别为A，B， PO的延长线交 $⊙ O$ 于点C，连接OA，OB，BC．若 $A O = 2 ， O P = 4$ ，则 $∠ C$ 等于（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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8. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是 $30cm$ ， $40cm$ ．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以 $60cm$ 长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（）

A、 $60cm$ B、 $75cm$ C、 $100cm$ D、 $120cm$

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{x}{2 x - 1}$ 的值为0，则x的值等于．

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10. 分解因式： $m a^{2} - 4 m a b + 4 m b^{2} =$ ．

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11. 用一组 $a$ ， $b$ 的值说明命题“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ”是错误的，这组值可以是 $a =$ ， $b =$

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12. 4月23日是世界读书日，甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为．

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13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：

投掷次数（n）	“出现点数为1”的次数（频数m）	频率 $\frac{m}{n}$
300	52	0.173
400	65	0.163
500	80	0.160
600	99	0.165
700	114	0.163
800	136	0.170
900	151	0.168
1000	166	0.166

根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为（精确到0.001）

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14. 若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是．

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15. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 (m + 1) x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则c的最小值是．

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16. 小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算，出行方式的相应信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）；

	乘出租车	乘坐公交车	乘坐地铁	骑共享单车	共需步行（公里）	总用时（分钟）	费用（元）
方式1			√		2.0	47	4
方式2				√		56	3
方式3		√			1.6	78	3
方式4		√			1.8	80	3
方式5		√	√		1.5	60	6
方式6		√	√		1.6	56	6
方式7		√	√		1.7	55	6
方式8		√	√		1.5	57	6
方式9	√				0.2	32	41

根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：

①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；

②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；

③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；

④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元．

其中推断合理的是（填序号）．

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + \sqrt{8} - | - 1 | - 6 \sin 45 °$ ．

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18. 已知 $2 x^{2} - 10 x - 1 = 0$ ，求代数式 $(x - 1) (2 x - 1) - {(x + 1)}^{2}$ 的值．

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19. 尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点．

求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．

作法：①作直线m，在m上任意截取线段 $A C = a$ ；

②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；

③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；

④分别连接AB，BC，CD，DA；

则四边形ABCD就是所求作的葵形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明： $∵ O A = O C ， O B = O D$ ，

$∴$ 四边形ABCD是 ▲ ．

$∵ A C ⊥ B D$ ，

$∴$ 四边形ABCD是菱形（ ▲ ）（填推理的依据）．

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{1 + x}{6} > \frac{2 x - 5}{3} + 1 \\ 5 x + 3 ⩾ 4 x - 1 \end{array}$ ，并写出其中的正整数解．

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21. 解分式方程： $\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{3 - 2 x}{2 + x} + 1$ ．

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22. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作 $B G / / D F$ 交DC于点G，交AC于点M．过点G作 $G N ⊥ D F$ 于点N．

(1)、求证：四边形NEMG为矩形；

(2)、若 $A B = 26 ， G N = 8 ， \sin ∠ C A B = \frac{5}{13}$ ，求线段AC的长．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1} ： y = k x + b$ 与直线 $y = 3 x$ 平行，且过点 $A (2 ， 7)$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的表达式；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线 $l_{2}$ 与直线 $l_{1}$ 关于y轴对称，直线 $y = m$ 与直线 $l_{1} ， l_{2}$ 围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．

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24. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，过点C作 $⊙ O$ 的切线交AB的延长线于点D， $O E ⊥ B C$ 于点E，交CD于点F．

(1)、求证： $∠ A + ∠ O F C = 90 °$ ；

(2)、若 $\tan A = \frac{3}{2} ， B C = 6$ ，求线段CF的长．

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25. 第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下而给出了相关信息：
a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：

b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： $40 ⩽ x < 50$ ， $50 ⩽ x < 60$ ， $60 ⩽ x < 70$ ，

$70 ⩽ x < 80 ， 80 ⩽ x < 90 ， 90 ⩽ x ⩽ 100$ ）：

c．测试成绩在 $70 ⩽ x < 80$ 这一组的是：

70 73 74 74 75 75 77 78

d．小明的冬奥知识测试成绩为85分

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第；

(2)、抽取的30名同学的成绩的中位数为；

(3)、序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为 $s_{1}^{2}$ ；序号为11-20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为 $s_{2}^{2}$ ；序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为 $s_{3}^{2}$ ．直接写出 $s_{1}^{2} ， s_{2}^{2} ， s_{3}^{2}$ 的大小关系；

(4)、成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为人．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线 $y = - x^{2} + (2 a - 2) x - a^{2} + 2 a$ 上，其中 $x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

(2)、①当 $x = a$ 时，求y的值；
②若 $y_{1} = y_{2} = 0$ ，求x₁的值（用含a的式子表示）；

(3)、若对于 $x_{1} + x_{2} < - 4$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求a的取值范围．

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27. 已知 $∠ M A N = 30 °$ ，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接 $A Q ， B Q$ ．点A关于直线BQ的对称点为点C，连接 $P Q ， C P$ ．

(1)、如下图，若P为线段AB的中点．

①直接写出 $∠ A Q B$ 的度数；

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；

(2)、如下图，若线段CP与BQ交于点D．

①设 $∠ B Q P = α$ ，求 $∠ C P Q$ 的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段 $D C ， D Q ， D P$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知正方形 $A B C D$ ，其中 $A (- \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0) ， B (0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}) ， C (\frac{\sqrt{2}}{2} ， 0) ， D (0 ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，M，N为该正方形外两点， $M N = 1$ ．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段 $M^{'} N^{'}$ ，使点 $M^{'} ， N^{'}$ 分别落在正方形 $A B C D$ 的相邻两边上，或线段 $M^{'} N^{'}$ 与正方形的边重合（ $M^{'} ， N^{'} ， P^{'}$ 分别为点M，N，P的对应点），线段 $P P^{'}$ 长度的最小值称为线段MN到正方形 $A B C D$ 的“平移距离”．

(1)、如下图，平移线段MN，得到正方形 $A B C D$ 内两条长度为1的线段 $M_{1} N_{1} ， M_{2} N_{2}$ ，则这两条线段的位置关系是；若 $P_{1} ， P_{2}$ 分别为 $M_{1} N_{1} ， M_{2} N_{2}$ 的中点，在点 $P_{1} ， P_{2}$ 中，连接点P与点的线段的长度等于线段MN到正方形 $A B C D$ 的“平移距离”；

(2)、如图，已知点 $E (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 ， 0)$ ，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形 $A B C D$ 的“平移距离”为 $d_{1}$ ，求 $d_{1}$ 的最小值；

(3)、若线段MN的中点P的坐标为 $(2 ， 2)$ ，记线段MN到正方形 $A B C D$ 的“平移距离”为 $d_{2}$ ，直接写出 $d_{2}$ 的取值范围．

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