高中数学人教版2019 选修2 4.1 数列的概念同步练习

试卷更新日期：2021-05-21 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知数列 $\frac{1}{1}$ , $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, ..., \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{3}{n}, ..., \frac{n}{n},$ 则此数列的第43项为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{6}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前4项依次为2，0，2，0，则数列 ${a_{n}}$ 的通项不可能是（）

A、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2 ， n 为奇数 \\ 0 ， n 为偶数 \end{array}$ B、 $a_{n} = 1 + {(- 1)}^{n + 1}$ C、 $a_{n} = 2 | \sin \frac{n π}{2} |$ D、 $a_{n} = 2^{\frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2}}$

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3. 已知数列 $a_{n} = n^{2} - 6 n + 5$ 则该数列中最小项的序号是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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5. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}$ ，则 ${a_{n}}$ （）

A、是常数列 B、不是单调数列 C、是递增数列 D、是递减数列

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6. 若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} (n - 2)$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，则 $a_{5}$ =（）

A、25 B、50 C、75 D、100

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7. 如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 $4$ 项，则这个数列的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = 3^{n - 1}$ B、 $a_{n} = 3^{n}$ C、 $a_{n} = 3^{n} - 2 n$ D、 $a_{n} = 3^{n - 1} + 2 n - 3$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a$ （ $a \in R$ ）， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 2$ （ $n \in N *$ ），则下列说法中错误的是（）

A、若 $a > 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 B、若数列 ${a_{n}}$ 为递增数列，则 $a > 1$ C、存在实数 $a$ ，使数列 ${a_{n}}$ 为常数数列 D、存在实数 $a$ ，使 $| a_{n} + 1 | \leq 2$ 恒成立

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二、多选题

9. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 2 n (n \in N^{*}),$ 记数列 ${\frac{a_{n}}{2 n + 1}}$ 的前n项和为 $S_{n},$ 则（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{n} = \frac{2}{2 n - 1}$ C、 $S_{n} = \frac{n}{2 n + 1}$ D、 $S_{n} = n a_{n + 1}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 4, S_{n} = a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，数列 ${\frac{n + 2}{n (n + 1) a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{2} = 4$ B、 $S_{n} = 2^{n}$ C、 $T_{n} \geq \frac{3}{8}$ D、 $T_{n} < \frac{1}{2}$

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11. 对于数列 ${a_{n}}$ ，若存在正整数 $k$ $(k \geq 2)$ ，使得 $a_{k} < a_{k - 1}$ ， $a_{k} < a_{k + 1}$ ，则称 $a_{k}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的“谷值， $k$ 是数列 ${a_{n}}$ 的“谷值点”，在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n} = | n + \frac{9}{n} - 8 |$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的“谷值点”为（）

A、2 B、3 C、5 D、7

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12. 对于数列 ${a_{n}}$ ，定义： $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，称数列 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“倒差数列”下列叙述正确的有（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 单调递增，则数列 ${b_{n}}$ 单调递增 B、若数列 ${b_{n}}$ 是常数列，数列 ${a_{n}}$ 不是常数列，则数列 ${a_{n}}$ 是周期数列 C、若 $a_{n} = 1 - {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 没有最小值 D、若 $a_{n} = 1 - {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 有最大值

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 20$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n$ ，则通项 $a_{n} =$ .

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14. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{\cos n π}{2}$ ，则它的第5项 $a_{5}$ =.

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15. 若数列{a_n}为单调递增数列，且 $a_{n} = 2 n - 1 + \frac{λ}{2^{n}}$ ，则a₃的取值范围为.

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16. 用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[3] = 3$ ， $[1.2] = 1$ ， $[- 1.3] = - 2$ ．已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则 $[\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + \dots + \frac{1}{a_{2020} + 1}] =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且对任意正整数n都有 $2 S_{n} = (n + 2) a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

(2)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{3}} + \frac{1}{a_{2} a_{4}} + \frac{1}{a_{3} a_{5}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}$ ，求 $T_{n}$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且 $S_{n} = 2 n^{2} - 30 n$ ．

(1)、求出它的通项公式；

(2)、求使得 $S_{n}$ 最小时 $n$ 的值.

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19. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = n^{2} - 10 n$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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20. 已知，无穷数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{i} \in {0 ， 1} (i = 1 ， 2 ， 3 \dots)$ ．记 ${a_{n}}$ 前n项的和为 $S_{n}$ 构造数列 ${b_{n}}$ ： $b_{n} = \frac{S_{n}}{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、若 ${b_{n}}$ 为单调递减数列，直接写出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、若 $a_{1} = 0$ ，且存在 $m \in N^{*}$ 使得 $b_{m} > 0.8$ ，求证：存在 $K \in N^{*}$ ，使得 $b_{K} = 0.8$ ．

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