高中数学人教版2019 选修一第三章圆锥曲线的方程单元测试

试卷更新日期：2021-05-21 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 若抛物线y²= 2px (p＞0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值等于（）

A、2或18 B、4或18 C、2或16 D、4或16

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2. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，若长轴长为8，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则此椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{48} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m^{2} + 1} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ （ $m > 0$ ）的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，虚轴上端点为 $A$ ，若 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、2

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4. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一个焦点为 $F$ ，则对于椭圆上两动点 $A$ ， $B$ ， $△ A B F$ 周长的最大值为（）

A、 $4 + \sqrt{5}$ B、6 C、 $2 \sqrt{5} + 2$ D、8

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5. 平面上动点 $M$ 到点 $F (2, 0)$ 的距离等于 $M$ 到直线 $l : x = - 2$ 的距离，则动点 $M$ 满足的方程是（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $x^{2} = 4 y$ D、 $x^{2} = 8 y$

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6. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的中心是坐标原点 $O$ ， $F$ 是椭圆 $E$ 的焦点.若椭圆 $E$ 上存在点 $P$ ，使 $△ O F P$ 是等边三角形，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $4 - 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $A B$ 中点的横坐标为 $4,$ 则 $| A F | + | B F | =$ （）

A、8 B、10 C、12 D、16

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8. 景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为 $\frac{\sqrt{34}}{3}$ 的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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二、多选题

9. 关于椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，以下说法正确的是（）

A、长轴长为 $2 \sqrt{2}$ B、焦距为 $2 \sqrt{2}$ C、离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、左顶点的坐标为 $(- \sqrt{2}, 0)$

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10. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列（ $c$ 为双曲线的半焦距），点 $P$ 为双曲线右支上的点，点 $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心.若 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + λ S_{△ I F_{1} F_{2}}$ 成立，则下列结论正确的是（）

A、当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $∠ P F_{1} F_{2} = 30^{\circ}$ B、离心率 $e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $λ = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、点 $I$ 的横坐标为定值 $a$

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11. 已知点 $P (- \frac{1}{2}, 1)$ ， $O$ 为坐标原点， $A$ ， $B$ 为曲线 $C : y = 2 x^{2}$ 上的两点， $F$ 为其焦点.下列说法正确的是（）

A、点 $F$ 的坐标为 $(\frac{1}{2}, 0)$ B、若 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，则直线 $A B$ 的斜率为 $- 2$ C、若直线 $A B$ 过点 $F$ ，且 $| P O |$ 是 $| A F |$ 与 $| B F |$ 的等比中项，则 $| A B | = 10$ D、若直线 $A B$ 过点 $F$ ，曲线 $C$ 在点 $A$ 处的切线为 $l_{1}$ ，在点 $B$ 处的切线为 $l_{2}$ ，则 $l_{1} ⊥ l_{2}$

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12. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $e_{1}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的上顶点为 $M$ ，且 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ 曲线 $C_{2}$ 和椭圆 $C_{1}$ 有相同焦点，且双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ， $P$ 为曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的一个公共点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $\frac{e_{2}}{e_{1}} = 2$ B、 $e_{1} \cdot e_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = \frac{5}{2}$ D、 $e_{2}^{2} - e_{1}^{2} = 1$

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三、填空题

13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点坐标为.

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14. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $A (x_{0}, - 3)$ 到其焦点的距离是A到y轴距离的2倍，则 $p$ 等于.

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15. 已知中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的双曲线的离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，其焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则此双曲线的方程为.

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16. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口 $B A C$ 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 上，片门位于另一个焦点 $F_{2}$ 上.由椭圆一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_{2}$ .已知 $B C ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $| F_{1} B | = \frac{16}{3}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，则截口 $B A C$ 所在椭圆的离心率为.

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四、解答题

17. 已知椭圆 $C_{1}$ 的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为 $16 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程及离心率；

(2)、若双曲线 $C_{2}$ 与（1）中椭圆 $C_{1}$ 有相同的焦点，且过点 $P (6, 2 \sqrt{2})$ ，求双曲线 $C_{2}$ 的标准方程.

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18. 已知动圆过点 $F (0, 2)$ ，且与直线 $l$ ： $y = - 2$ 相切．

(1)、求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若过点 $F$ 且斜率 $1$ 的直线与圆心 $M$ 的轨迹交于 $A, B$ 两点，求线段 $A B$ 的长度．

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19. 已知抛物线C的方程为 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，其焦点为F， $M (2, m)$ 为抛物线C上的一点，且M到焦点F的距离为 $\frac{5}{2}$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线l与抛物线C相交于两个不同的点P，Q，线段PQ的垂直平分线过定点 $(2, 0)$ ，求k的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且经过点 $(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、经过点 $M (0, 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ， $O$ 为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{6}}{17}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F的直线交C于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = - 3$ ．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若抛物线C的弦 $P Q$ 与以 $M (4, 0)$ 为圆心､半径为 $r (r > 0)$ 的圆M相切于点 $N (x_{0}, 1)$ ，且N恰为弦 $P Q$ 的中点，求圆M的半径r的值．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线 $y = k x + m (m \neq 0)$ 与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接 $P O$ ，并延长 $P O$ 至交椭圆M于点N．设 $△ N A B$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ O A B$ 的面积为 $S_{2}$ ．

（ⅰ）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值；

（ⅱ）求 $S_{1}$ 的最大值．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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