高中数学人教版2019 选修一 3.3 圆锥曲线的方程之抛物线

试卷更新日期：2021-05-21 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知点 $(1, 1)$ 在抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，则 $C$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

查看试题解析
2. 已知F是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且 $| A F | + | B F | = 6$ ，则线段AB的中点到直线 $x = - \frac{1}{2}$ 的距离为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

查看试题解析
3. 已知抛物线C：x²=-2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且｜MF|=6，则p=（）

A、4 B、6 C、8 D、10

查看试题解析
4. 已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为F ， P为C在第一象限上一点，若 $P F$ 的中点到y轴的距离为3，则直线 $P F$ 的斜率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

查看试题解析
5. 若过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点且斜率为2的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的长为（）

A、3. B、4 C、5 D、6

查看试题解析
6. 双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $C$ 的一条渐近线与抛物线 $M$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的一个交点为 $A$ (异于原点).点 $A$ 在以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

查看试题解析
7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ ， $B$ 在抛物线 $C$ 上，过线段 $A B$ 的中点 $M$ 作抛物线 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $N$ ，若 $∠ A F B = 90 °$ ，则 $\frac{| A B |}{| M N |}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

查看试题解析
8. 抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F发出的两条光线a ， b分别经抛物线上的A ， B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为 $60 °$ ，则两条反射光线 $a^{'}$ 和 $b^{'}$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析

二、多选题

9. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ .点 $M$ 在 $y$ 轴上，若线段 $F M$ 的中点 $B$ 在抛物线上，且点 $B$ 到抛物线准线的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，则点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(0 ， - 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

查看试题解析
10. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E， $∠ E P F$ 的外角平分线交x轴于点Q，过Q作 $Q N ⊥ P E$ 交 $E P$ 的延长线于 $N$ ，作 $Q M ⊥ P F$ 交线段 $P F$ 于点 $M$ ，则（）

A、 $| P E | = | P F |$ B、 $| P F | = | Q F |$ C、 $| P N | = | M F |$ D、 $| P N | = | K F |$

查看试题解析
11. 设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上两点， $O$ 是坐标原点，若 $O A ⊥ O B$ ，下列结论正确的为（）

A、 $y_{1} y_{2}$ 为定值 B、直线 $A B$ 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 C、 $S_{△ A O B}$ 最小值为16 D、 $O$ 到直线 $A B$ 的距离最大值为4

查看试题解析
12. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点 $B (- 2 ， 0)$ ，当 $\frac{| A F |}{| A B |}$ 取得最小值时，则（）

A、 $A B$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $| A F | = 4$ C、 $△ A B F$ 内切圆的面积为 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2} π$ D、 $△ A B F$ 内切圆的面积为 $(24 - 16 \sqrt{2}) π$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则 $| x_{0} | =$ .

查看试题解析
14. 设抛物线C∶ $y^{2} = 2 p x$ ( $p > 0$ )的焦点为 $F$ ，第一象限内的A ， B两点都在C上，O为坐标原点，若 $∠ A F O = ∠ A F B = \frac{π}{3}$ ， $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，则点A的坐标为.

查看试题解析
15. 已知抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ ， $B$ 在 $C$ 上，满足 $\vec{A F} + \vec{B F} = \vec{0}$ ，且 $\vec{A F} \cdot \vec{B F} = - 16$ ，点 $P$ 是抛物线的准线上任意一点，则 $△ P A B$ 的面积为.

查看试题解析
16. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有共同的一焦点，过 $E$ 的左焦点且与曲线 $C$ 相切的直线恰与 $E$ 的一渐近线平行，则 $E$ 的离心率为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线l：y= $x - 2$ 与抛物线C交于A，B两点.

(1)、求AB弦长；

(2)、求△FAB的面积.

查看试题解析
18. 已知抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点，焦点为圆 $F$ ： $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 的圆心， $y$ 轴负半轴上有一点 $P$ ，直线 $P F$ 被 $C$ 截得的弦长为5．

(1)、求点 $P$ 的坐标；

(2)、过点 $P$ 作不过原点的直线 $P A$ ， $P B$ 分别与抛物线 $C$ 和圆 $F$ 相切， $A$ ， $B$ 为切点，求直线 $A B$ 的方程．

查看试题解析
19. 已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为 $l ， O$ 为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于 $A 、 B$ 两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线 $l$ 交于点M．

(1)、若直线m的斜率为 $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{| A F |}{| B F |}$ 的值；

(2)、设 $A B$ 的中点为N，若 $O 、 M 、 N 、 F$ 四点共圆，求直线m的方程．

查看试题解析
20. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F，且F为圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 的圆心。过F点的直线l交抛物线与圆分别为 $A$ ， $C$ ， $D$ ， $B$ （从上到下）.

(1)、求抛物线方程并证明 $| A C | | B D |$ 是定值；

(2)、若 $Δ A O C$ ， $Δ B O D$ 的面积比是4，求直线l的方程.

查看试题解析
21. 已知抛物线 $C ：$ $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，且点 $M (x_{0} ， y_{0}) (y {}_{0}> 1)$ 是抛物线 $C$ 上的动点，过 $M$ 作圆 $Q ：$ ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，分别交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）当直线 $M Q$ 垂直于直线 $A B$ 时，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 已知直线 $l$ ： $2 x - y - 4 = 0$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，且 $\vec{O F} = \vec{F E}$ ，其中 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $Ω$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点.

(1)、求拋物线 $Ω$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与抛物线 $Ω$ 相交于 $P$ ， $B$ 两点( $P$ 在第一象限)，直线 $P A$ ， $P C$ 分别与抛物线相交于 $A$ ， $C$ 两点（ $A, C$ 在 $P$ 的两侧），与 $x$ 轴交于 $D$ ， $G$ 两点，且 $E$ 为 $D G$ 中点，设直线 $P A$ ， $P C$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 为定值；

(3)、在（2）的条件下，求 $△ P B C$ 的面积的取值范围.

查看试题解析