高中数学人教版2019选修一3.2 圆锥曲线的方程之双曲线

试卷更新日期：2021-05-21 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线被圆 $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ 截得的线段长等于8，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、3 D、 $\frac{5}{3}$

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2. 双曲线 $\frac{y^{2}}{m} - \frac{x^{2}}{n} = 1 (m > 0, n > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，实轴长为2，则 $m - n$ 为（）

A、-1 B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的顶点到渐近线的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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4. 点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 右支上一点， $F_{1} 、 F_{2}$ 分别是双曲线的左、右焦点，若 $| P F_{1} | = 7, | P F_{2} | = 3$ ，则双曲线的一条渐进方程是（）

A、 $2 x + 3 y = 0$ B、 $4 x + 9 y = 0$ C、 $3 x - 2 y = 0$ D、 $9 x - 4 y = 0$

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5. 实轴长与焦距之比为黄金数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 是黄金双曲线，则 $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 2}{2}$ D、 $\frac{9 - 4 \sqrt{5}}{4}$

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6. 已知椭圆 $C$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 有相同的左焦点 $F_{1}$ 、右焦点 $F_{2}$ ，点 $P$ 是两曲线的一个交点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ .过 $F_{2}$ 作倾斜角为45°的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴的上方），且 $\vec{A B} = λ \vec{A F_{2}}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $3 + \sqrt{3}$ B、 $3 + \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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7. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 是 $C$ 左支上的动点， $A (0, 3)$ ，当点 $P$ 在线段 $A F_{1}$ 上时， $△ A P F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{18}{5}$ D、 $\frac{24}{5}$

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8. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左，右焦点， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且满足 $| F_{1} F_{2} | = 2 | O P |$ ， $\tan ∠ P F_{2} F_{1} \geq 5$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \frac{\sqrt{17}}{3}]$ B、 $(1, \frac{\sqrt{26}}{4}]$ C、 $(1, \sqrt{5}]$ D、 $(1, \sqrt{2}]$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，一条渐近线方程为 $y = \frac{3}{4} x$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，则以下说法正确的是（）

A、 $C$ 的实轴长为 $8$ B、 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{3}$ C、 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 8$ D、 $C$ 的焦距为 $10$

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $A$ 、 $B$ 分别为双曲线的左、右顶点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左、右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 2 c$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，点 $P$ 是双曲线 $C$ 的右支上异于点 $B$ 的任意一点，记 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）．

A、当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ B、双曲线的离心率 $e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $k_{1} k_{2}$ 为定值 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ D、若 $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，满足 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + x S_{△ I F_{1} F_{2}} (x \in R)$ ，则 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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11. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）

A、设 $A$ 、 $B$ 为两个定点， $k$ 为非零常数， $| \vec{P A} | - | \vec{P B} | = k$ ，则动点 $P$ 的轨迹为双曲线 B、设定圆 $C$ 上一定点 $A$ 作圆的动弦 $A B$ ， $O$ 为坐标原点，若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ ，则动点 $P$ 的轨迹为椭圆 C、方程 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为其实轴的左右端点，且 $| F_{1} F_{2} | = \frac{b^{2}}{a}$ ，点 $P$ 为双曲线右支一点， $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，则下列结论正确的有（）

A、离心率 $e = \sqrt{2} + 1$ B、点 $I$ 的横坐标为定值 $a$ C、若 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + λ S_{△ I F_{1} F_{2}} (λ \in R)$ 成立，则 $λ = \sqrt{2} - 1$ D、若 $P H$ 垂直 $x$ 轴于点 $H$ ，则 ${| P H |}^{2} = | H A_{1} | \cdot | H A_{2} |$

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三、填空题

13. 写出一个渐近线方程为 $y = \pm x$ 的双曲线标准方程．

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14. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ， $O$ 为原点，若 $| O F | = 2 | O A |$ ，则 $C$ 的渐近线方程为.

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15. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{10} x + 1 = 0$ 的圆心到双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线的距离为.

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点， $c$ 是双曲线 $C$ 的半焦距，点 $A$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上一点，线段 $F_{2} A$ 交双曲线 $C$ 的右支于点 $B$ ，且有 $| F_{2} A | = a$ ， $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A F_{2}}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是．

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四、解答题

17. 求满足下列条件的双曲线的标准方程．

(1)、实轴在 $x$ 轴上，实轴长为 $4$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ；

(2)、焦点为 $(0, 6)$ ，且与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 有相同渐近线．

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0,b>0)的离心率为 $\sqrt{3}$ ,

(1)、求双曲线C的渐近线方程.

(2)、当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上,求m的值.

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19. 已知命题 $p :$ 对于任意 $x \in R$ ，不等式 $4 x^{2} - 4 (m - 2) x + 1 > 0$ 恒成立.命题 $q :$ 实数 $m$ 满足的方程 $\frac{x^{2}}{m - 2 a} + \frac{y^{2}}{m - a} = 1 (a > 0)$ 表示双曲线.

(1)、当 $a = 2$ 时，若“ $p$ 或 $q$ ”为真，求实数 $m$ 的取值范围.

(2)、若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1, F_{1}, F_{2}$ 是其两个焦点，点 $M$ 在双曲线上.

(1)、若 $∠ F_{1} M F_{2} = 90^{°}$ ，求 $△ F_{1} M F_{2}$ 的面积；

(2)、若 $∠ F_{1} M F_{2} = 120^{°}, △ F_{1} M F_{2}$ 的面积是多少？若 $∠ F_{1} M F_{2} = 60^{°}, △ F_{1} M F_{2}$ 的面积又是多少？

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21. 已知双曲线方程 $2 x^{2} - y^{2} = 2$ .

(1)、求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；

(2)、过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于 $Q_{1}, Q_{2}$ 两点，且 $Q_{1}, Q_{2}$ 两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

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22. 已知 $A$ 、 $B$ 是双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个顶点，点 $P$ 是双曲线上异于 $A$ 、 $B$ 的一点， $O$ 为坐标原点，射线 $O P$ 交椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 于点 $Q$ ，设直线 $P A$ 、 $P B$ 、 $Q A$ 、 $Q B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ 、 $k_{4}$ .

(1)、若双曲线 $C_{1}$ 的渐近线方程是 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，且过点 $(\sqrt{5} ， \frac{1}{2})$ ，求 $C_{1}$ 的方程；

(2)、在（1）的条件下，如果 $k_{1} + k_{2} = \frac{15}{8}$ ，求 $Δ A B Q$ 的面积；

(3)、试问： $k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4}$ 是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

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