高中数学人教版2019 选修一曲线方程 3.1 椭圆

试卷更新日期：2021-05-21 类型：同步测试

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一、单选题

1. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, \pm 1)$ B、 $(\pm 1, 0)$ C、 $(0, \pm \sqrt{7})$ D、 $(\pm \sqrt{7}, 0)$

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2. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，若长轴长为8，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则此椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{48} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

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3. P是椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 16$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是该椭圆的两个焦点，且 $| P F_{1} | = 7$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、9

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4. “ $m > 0$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{2 m} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴的椭圆”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设 $M$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的一点， $F_{1}, F_{2}$ 为焦点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{6}$ ，则 $Δ M F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ B、 $16 (2 + \sqrt{3})$ C、 $16 (2 - \sqrt{3})$ D、16

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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7. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $Q (1, - 2)$ 的直线1与椭圆相交于A，B两点，若点Q是线段 $A B$ 的中点，则直线l的斜率为（）

A、2或 $\frac{1}{8}$ B、2或8 C、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或8

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8. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上一点 $M$ 关于原点的对称点为 $N$ ， $F$ 为椭圆的一个焦点，若 $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = 0$ ，且 $∠ M N F = \frac{π}{3}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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二、多选题

9. 若方程 $\frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1$ 表示椭圆 $C$ ，则下面结论正确的是（）

A、 $k \in (1, 9)$ B、椭圆 $C$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ C、若椭圆 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上，则 $k \in (1, 5)$ D、若椭圆 $C$ 的焦点在 $y$ 轴上，则 $k \in (5, 9)$

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10. 若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 1} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0, 1)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $m = 2$ B、C的长轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、C的短轴长为4 D、C的离心率为 $\frac{1}{3}$

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11. 如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 $P$ 变轨进入以月球球心 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点 $P$ 第二次变轨进入仍以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点 $P$ 第三次变轨进入以 $F$ 为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用 $2 c_{1}$ 和 $2 c_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 $2 a_{1}$ 和 $2 a_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（）

A、 $a_{1} + c_{1} = a_{2} + c_{2}$ B、 $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ C、 $c_{1} a_{2} > a_{1} c_{2}$ D、 $\frac{c_{1}}{a_{1}} < \frac{c_{2}}{a_{2}}$

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12. 我们通常称离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $A_{1} ， A_{2}$ 分别为左、右顶点， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 分别为上、下顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）

A、 $| A_{1} F_{1} | \cdot | F_{2} A_{2} | = {| F_{1} F_{2} |}^{2}$ B、 $∠ F_{1} B_{1} A_{2} = 90 °$ C、 $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $P O // A_{2} B_{1}$ D、四边形 $A B_{2} A_{2} B_{1}$ 的内切圆过焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$

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三、填空题

13. 已知过点 $M (1, - \frac{3}{2})$ 的椭圆C的焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，则椭圆C的标准方程是.

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14. 在直角三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 1$ ，椭圆的一个焦点为C，另一个焦点在边 $A B$ 上，并且椭圆经过点 $A ， B$ ，则椭圆的长轴长等于.

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15. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，A，B是椭圆C上两点，且关于点 $M (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ 对称，P是椭圆C外一点，满足 $P A$ ， $P B$ 的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是.

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆上存在一点 $P$ 使得 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则该椭圆离心率的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知椭圆的长轴在 $x$ 轴上，长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

(1)、求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.

(2)、直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，求 $A, B$ 两点的距离.

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18. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）若直线 $y = k x + 1$ （ $k > \frac{1}{2}$ ）与E相交于A，B两点，M为E的左顶点，且满足 $M A ⊥ M B$ ，求k.

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19. 已知椭圆 $C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $M$ 为椭圆下上动点， $△ F_{1} M F_{2}$ 面积的最大值为 $1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $M$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $M F_{1}$ 交椭圆 $C$ 于点 $N$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ (直线 $l$ 的斜率不为1)与椭圆 $C$ 交于 $P 、 Q$ 两点，点 $P$ 在点 $Q$ 的上方．若 $S_{△ F_{1} M P} : S_{△ F_{1} N Q} = 3 : 2$ ，求直线 $l$ 的方程．

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20. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆E上.

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、经过椭圆E的左焦点 $F_{1}$ 作斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 交椭圆E于A，B，直线 $l_{2}$ 交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求 $△ G H F_{2}$ 面积的最大值.

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21. 已知四点 $P_{1} (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2}) ， P_{2} (- 1 ， - \frac{\sqrt{2}}{2}) ， P_{3} (1 ， 1) ， P_{4} (0 ， 1)$ 中恰有三点在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上，其中 $a > b > 0$ ．

(1)、求 $\begin{array}{l} a ， b \end{array}$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 过定点 $M (2 ， 0)$ 且与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（ $l$ 与 $x$ 轴不重合），点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $D$ ．探究：直线 $A D$ 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y = x$ 被椭圆C截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过原点的直线与椭圆C交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ､ $B (- x_{1}, - y_{1})$ 两点(A､B不与椭圆C的顶点重合)，点 $D (x_{2}, y_{2})$ 在椭圆C上，且 $A D ⊥ A B$ ，直线BD与x轴交于M点，设直线BD､AM的斜率分别为 $k_{1}$ ､ $k_{2}$ ，证明存在常数 $λ$ 使得 $k_{1} = λ k_{2}$ ，并求出 $λ$ 的值.

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