广东省广州二高2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-05-21 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1. 设集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ，集合 $B = {x | 1 \leq 2^{x} \leq 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${1, 2}$

查看试题解析
2. 已知正方形ABCD的边长为2， $E$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{C D} =$ （）．

A、-2 B、-4 C、4 D、2

查看试题解析
3. 欧拉恒等式： $e^{i π} + 1 = 0$ 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数 $e$ 、圆周率 $π$ 、虚数单位 $i$ 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式： $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ (θ \in R)$ 中，令 $θ = π$ 得到的．根据欧拉公式， $e^{4 i}$ 复平面内对应的点在（）．

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（）．

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

查看试题解析
5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ ，若直线 $l$ ： $x + y + m = 0$ 上有且只有一个点 $P$ 满足：过点 $P$ 作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（）

A、1 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、7

查看试题解析
6. 若 ${(x + 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + a_{7} {(x + 2)}^{7}$ ，则 $a_{3} + a_{4} =$ （）．

A、0 B、35 C、70 D、-70

查看试题解析
7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数 $f (x) = x^{2} + x \sin x$ 的图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - a x + a (a > 0)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 的最大值为（）．

A、 $- 1 - \ln 2$ B、 $1 - \ln 2$ C、 $2 - \ln 2$ D、 $3 - \ln 2$

查看试题解析

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

9. 已知空间中不同直线 $m$ 、 $n$ 和不同平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题中是真命题的是（）．

A、若 $m$ 、 $n$ 互为异面直线， $m // α$ ， $n // α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ B、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $n ⊥ α$ ， $m // α$ ，则 $n ⊥ m$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n // m$ ，则 $n // β$

查看试题解析
10. 已知向量 $\vec{a} = (\sin α, \cos α)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则下列命题正确的是（）．

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan α = \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\tan α = \frac{1}{2}$ C、若 $f (α) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 取得最大值时，则 $\tan α = \frac{1}{2}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$

查看试题解析
11. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{2 n}}{S_{4 n}}$ 为常数，则称数列 ${a_{n}}$ 为“吉祥数列”.则下列数列 ${b_{n}}$ 为“吉祥数列”的有（）

A、 $b_{n} = n$ B、 $b_{n} = {(- 1)}^{n} (n + 1)$ C、 $b_{n} = 4 n - 2$ D、 $b_{n} = 2^{n}$

查看试题解析
12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为 $A D$ 的中点，点 $Q$ 为 $B_{1} C_{1}$ 上的动点，给出下列说法，其电正确的有（）．

A、 $P Q$ 可能与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 平行 B、 $P Q$ 与 $B C$ 所成的最大角为 $\frac{π}{3}$ C、 $C D_{1}$ 与 $P Q$ 一定垂直 D、 $P Q$ 与 $D D_{1}$ 所成的最大角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

查看试题解析

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

13. 设复数 $z$ 满足 $z \cdot i = - 1 + i$ ，复数 $z$ 的共轭复数记为 $\bar{z}$ ，则 $| \bar{z} | =$ ．

查看试题解析
14. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为.

查看试题解析
15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + 2 n (n \in N^{*})$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前10项和为．

查看试题解析
16. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ， $P$ 为双曲线上一点， $P F_{1}$ 与双曲线 $C$ 的渐近线平行，且 $| P O | = | F_{1} O |$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则双曲线 $C$ 的离心率 $e =$ ．

查看试题解析

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

17. 某市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗．这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图（如图）．

(1)、试估计这批树苗高度的众数，中位数；

(2)、现按分层抽样方法．从高度在 $[2.30 ， 2.50]$ 的树苗中任取6株树苗．从这6株树苗中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在 $[2.40 ， 2.50]$ 的概率．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + \frac{π}{6}) (A ， ω > 0)$ 只能同时满足以下三个条件中的两个．
①函数f（x）的最大值是2；

②函数f（x）的图象可由函数 $f (x) = \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2}$ 左右平移得到；

③函数f（x）的对称中心与f（x）的对称轴之间的最短距离是 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $△ A B C$ 的内角A、B、C所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $f (B) = 1$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = b$ ，求 $\frac{\sin ∠ B A C}{\sin C}$ 的值．

查看试题解析
19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n - 1} - a_{n} = a_{n} a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 满足： $a_{2} = b_{1}$ ， $b_{2} - b_{3} = a_{8}$ ．

(1)、证明数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = \frac{b_{1}}{a_{n}} + \frac{b_{2}}{a_{n - 1}} + \dots + \frac{b_{n}}{a_{1}}$ ，求 $T_{n}$ ．

查看试题解析
20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 、 $O$ 分别为 $A C$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $P A_{1} = P C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = P B_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $A_{1} C_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - P A_{1} - C_{1}$ 的余弦值．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，右焦点为 $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上异于 $A$ 、 $B$ 的动点，且 $△ A P F_{2}$ 面积的最大值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $A P$ 与 $y$ 轴交于 $M$ 点，过点 $A$ 作 $B P$ 的平行线交 $y$ 轴与点 $N$ ，试探究是否存在定点 $Q$ ，使得以 $M N$ 为直径的圆恒过定点 $Q$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x + 1} + a x + a (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x - 1) + \ln (x + 1) \geq 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析