湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 为了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，5000名学生成绩的全体是（）

A、总体 B、个体 C、从总体中抽取的一个样本 D、样本的容量

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2. 设 $α$ 是第三象限角，且 $\tan α = 1$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（）

A、至少有1枚正面和最多有1枚正面 B、最多1枚正面和恰有2枚正面 C、至多1枚正面和至少有2枚正面 D、至少有2枚正面和恰有1枚正面

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4. 某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）

A、7 B、10 C、9 D、8

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5. 若 $\sin θ - \cos θ = \frac{4}{3}$ ，则 $\sin (π - θ) \cos (π - θ) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $- \frac{7}{18}$ D、 $\frac{7}{18}$

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6. 如图所示，用两种方案将一块顶角为 $120^{°}$ ，腰长为 $2$ 的等腰三角形钢板 $O A B$ 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为 $S_{1} {， S}_{2}$ ，周长分别为 $l_{1} ， l_{2}$ ，则（）

A、 $S_{1} = S_{2}$ ， $l_{1} > l_{2}$ B、 $S_{1} = S_{2}$ ， $l_{1} < l_{2}$ C、 $S_{1} > S_{2}$ ， $l_{1} = l_{2}$ D、 $S_{1} < S_{2}$ ， $l_{1} = l_{2}$

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7. 已知 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2020 x + \cos 2020 x$ 的最大值为A ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得对任意的实数x ，总有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 成立，则 $A | x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{2020}$ B、 $\frac{π}{1010}$ C、 $\frac{π}{505}$ D、 $\frac{π}{4040}$

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8. 将函数 $f (x) = \cos 2 x$ 图象向左平移 $φ$ ( $0 < φ < \frac{π}{2}$ )个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减，且函数 $g (x)$ 的最大负零点在区间 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 上，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ C、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ D、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B、连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀 C、某种福利彩票的中奖概率为 $\frac{1}{1000}$ ，那么买1000张这种彩票一定能中奖 D、某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水

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10. 给出下列结论，其中真命题为（）

A、若 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{b} = \vec{0}$ B、向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为不共线的非零向量，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}$ C、若非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 ${| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |}^{2} = {| \overset{⇀}{a} |}^{2} + {| \overset{⇀}{b} |}^{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 D、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个互相垂直的单位向量，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ $- \vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{2}$

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11. 已知 $△ A B C$ 的面积为3，在 $△ A B C$ 所在的平面内有两点P ， Q ，满足 $2 \vec{P A} + \vec{P C} = \vec{0}$ ， $\vec{Q A} = 2 \vec{Q B}$ ，记 $△ A P Q$ 的面积为S ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{P B} // \vec{C Q}$ B、 $\vec{B P} = \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} < 0$ D、 $S = 2$

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12. 某学生对函数 $f (x) = x \sin x$ 进行研究后，得出如下结论，其中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是偶函数 B、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、存在常数 $M > 0$ ，使| $| f (x) | \leq M | x |$ 对切实数x都成立 D、点 $(π, 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心

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三、填空题

13. 某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35，35，40，38，52，则这5名党员教师学习积分的方差为；

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (x, - 2)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$

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15. 甲､乙两人随意入住两间空房，则甲､乙两人各住一间房的概率是

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16. 如图，在 $△ O C B$ 中，点A是 $B C$ 的中点，点D是靠近点B将 $O B$ 分成 $2 ： 1$ 的一个分点， $D C$ 和 $O A$ 交于点E ，设 $O A = \vec{a}$ ， $O B = \vec{b}$

用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{D C} =$ ；若 $\vec{O E} = λ \vec{O A}$ ，则 $λ =$

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四、解答题

17. 已知角 $α$ 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $\sin α$ 的值；

(2)、若锐角 $β$ 满足 $\sin β = \frac{5}{13}$ ，求 $\cos (α + β)$ 的值.

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18. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

销量y(件)

90

84

83

80

75

68

(1)、当 $\overset{\land}{b} = - 20$ 时，求回归直线方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} x + \overset{\land}{a}$ ；

(2)、预计在今后的销售中，销量与单价服从（1）中的关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入-成本)

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19. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ )的一段图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{4}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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20. 已知向量 $\vec{m}$ ＝(cosx ， sinx)， $\vec{n}$ ＝(cosx ， ﹣sinx)，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $f (\frac{x}{2}) = 1$ ，x $\in$ (0， $π$ )，求tan(x＋ $\frac{π}{4}$ )的值；

(2)、若 $f (α) = - \frac{1}{10}$ ， $α \in$ ( $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ )， $\sin β = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ， $β \in$ (0， $\frac{π}{2}$ )，求 $2 α + β$ 的值．

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21. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生"按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组： $[0 ， 10)$ ， $[10 ， 20)$ ， $[20 ， 30)$ ， $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50]$ ，得其频率分布直方图如图所示.

(1)、估计全校学生中课外阅读时间在 $[30 ， 40)$ 小时内的总人数是多少；

(2)、从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；

(3)、国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？

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22. 将函数 $y = \sin x$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $f (x)$ 的图象.

(1)、写出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求实数a和正整数n ，使得 $F (x) = f (x) - a$ 在 $[0, n π]$ 上恰有2020个零点.

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单价x(元)	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y(件)	90	84	83	80	75	68