湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\tan (- 2025 °) =$ （）

A、-1 B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 复数 $\frac{2 i}{1 +i}$ 的共轭复数为（）

A、1+i B、1-i C、-1+i D、-1-i

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3. 在 $△ A B C$ 中，“ $A < B$ ”是“ $\cos A > \cos B$ ”成立的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知等边 $△ A B C$ 的边长为1，则 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} + \vec{C A} \cdot \vec{A B} + \vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、3 B、-3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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5. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{9}$

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6. 若 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，且 $\vec{A G} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （ $λ$ ， $μ$ 为实数），则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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7. 先画出函数 $y = \sin x (x \in R)$ 的图象，再把图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，然后使图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数解析式为（）

A、 $y = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ B、 $y = \sin 2 (x - \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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8. 若 $2^{a} = 3$ ， $3^{b} = 4$ ， $4^{c} = a b$ ，则 $a b c =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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二、多选题

9. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 3 m, m) (m \neq 0)$ ，则 $\sin α$ 的值可以是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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10. 给出下列四个命题：
①若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b > 0$ ；

②若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ ；

③若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$ ；

④若 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ .

其中正确的命题是（）

A、① B、② C、③ D、④

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11. 已知在平面直角坐标系中，点 $P_{1} (0, 1)$ ， $P_{2} (4, 4)$ .当 $P$ 是线段 $P_{1} P_{2}$ 的一个三等分点时，点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{4}{3}, 2)$ B、 $(\frac{4}{3}, 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(\frac{8}{3}, 3)$

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12. 已知两条不同的直线 $a$ ， $b$ 与三个不同的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ .给出下面四个命题：
甲. 若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $α / / β$ ，则 $a / / b$ ；

乙. 若 $α / / β$ ， $α \cap γ = a$ ， $β \cap γ = b$ ，则 $a / / b$ ；

丙. 若 $a / / α$ ， $b / / β$ ， $α / / β$ ，则 $a / / b$ ；

丁. 若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

其中错误的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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三、填空题

13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a b = a + b + 4$ ，则a+b的最小值为．

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14. 若 $α$ ， $β$ 都是锐角，且 $\tan α = \frac{1}{7}$ ， $\sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\tan (α + 2 β) =$ .

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15. 已知 $M$ 是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B B_{1}$ 的中点，底面 $A B C D$ 为正方形且 $A A_{1} = 2 A B$ ，则 $A M$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角的大小用弧度制可以表示为.

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16. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x^{2}}}$ ， $B = {x | x^{2} - a x + a = 0}$ ，若 $\exists x_{1}, x_{2} \in A \cap B$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、计算棱台 $E F C_{1} - B D C$ 的体积；

(2)、求证：平面 $A M N / /$ 平面 $D B E F$ .

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18. 疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒.某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：

(1)、求a的值；

(2)、估计这100位居民锻炼时间的平均值 $\bar{x}$ ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

(3)、求中位数的估计值.

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19. 新冠肺炎波及全球，我国计划首先从3个亚洲国家（伊朗、巴基斯坦、越南）和2个欧洲国家（意大利、塞尔维亚）中选择2个国家进行对口支援.

(1)、若从这5个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)、若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括伊朗但不包括意大利的概率.

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20. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离 $x$ （单位： $km$ ）成反比，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与 $x$ 成正比；若在距离车站 $2 km$ 处建仓库，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为线段 $P B$ 的中点，连接 $A E$ .

(1)、证明： $A E ⊥ P C$ ；

(2)、连接 $D E$ ，求 $D E$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值；

(3)、求二面角 $E - C D - A$ 的平面角的正切值.

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22. 已知函数 $f (x) = \sin^{4} x + 2 \sin x \cos x - \cos^{4} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值及取得最大值时相应的自变量x的取值集合.

(2)、若函数 $g (x) = f (ω x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 内恰有四个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ .
①求实数 $ω$ 的取值范围；

②当 $| x_{1} - x_{2} | = | x_{3} - x_{4} | = \frac{π}{2}$ 时，求实数 $ω$ 的值及相应的四个零点.

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