湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ， $N = {x | x^{2} + 2 x < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | - 2 < x < 0}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

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2. 若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0,$ 有下列四个不等式：① $a^{3} < b^{3}$ ；② $\log_{a + 2} 3 > \log_{b + 1} 3;$ ③ $\sqrt{b} - \sqrt{a} < \sqrt{b - a}$ ；④ $a^{3} + b^{3} > 2 a b^{2} .$ 则下列组合中全部正确的为（）

A、①② B、①③ C、①④ D、②③

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3. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁＝﹣3，2a₄+3a₇＝9，则S₇的值等于（）

A、21 B、1 C、﹣42 D、0

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1}$ ， $a_{101}$ 是方程 $x^{2} - 10 x + 16 = 0$ 的两根，则 $a_{21} \cdot a_{51} \cdot a_{81}$ 的值为（）

A、64 B、±64 C、256 D、±256

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5. $△ A B C$ 中，若 $\lg a - \lg c = \lg \sin B = - \lg \sqrt{2}$ 且 $B \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形

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6. $△ A B C$ 中，点D在线段 $A B$ （不含端点）上，且满足 $\vec{C D} = x \vec{C A} + y \vec{C B} (x ， y \in R)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{9} + 3 a_{11} < 0$ ， $a_{10} \cdot a_{11} < 0$ ，且数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 有最大值，那么 $S_{n}$ 取得最小正值时n等于（）

A、20 B、17 C、19 D、21

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8. 知 $a ， b ， c$ 为 $△ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} ， - 1) ， \vec{n} = (\cos A ， \sin A)$ ．若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，且 $a \cos B + b \cos A = c \sin C$ ，则角 $A ， B$ 的大小分别为（）

A、 $\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3} ， \frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3} ， \frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3} ， \frac{π}{3}$

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9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何? ”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $142 π$ 平方尺 B、 $140 π$ 平方尺 C、 $138 π$ 平方尺 D、 $128 π$ 平方尺

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10. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则 $\vec{A B}$ • $\vec{C D} =$ （）

A、32 B、28 C、26 D、24

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11. 在 $Δ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $Δ A B C$ 的面积为2，则 $\frac{2 \sin C}{\sin C + 2 \sin B} + \frac{\sin B}{\sin C}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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12. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有 $1 \times 12$ ， $2 \times 6$ ， $3 \times 4$ 三种，其中 $3 \times 4$ 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 $3 \times 4$ 为12的最佳分解.当 $p \times q$ ( $p \leq q$ 且p､ $q \in N *$ )是正整数n的最佳分解时，我们定义函数 $f (n) = q - p$ ，例如 $f (12) = 4 - 3 = 1$ ，则数列 ${f (3^{n})}$ 的前2020项和为（）

A、 $3^{1010} - 1$ B、 $3^{1010}$ C、 $3^{1011} - 1$ D、 $3^{1011}$

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二、填空题

13. 已知圆锥的表面积为 $3 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是．

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14. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 上的投影的数量为.

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15. 如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对：“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱，圆柱的表面积与高分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 与 $h_{1}$ ， $h_{2}$ .若 $h_{1} = h_{2} = 1$ ， $S_{1} = 16$ ，则 $S_{2}$ 的值为.

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16. 已知首项为 $a_{1}$ ，公比为q的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $q^{4} + a_{4} + a_{3} + a_{2} + 1 = 0$ ，则首项 $a_{1}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $P$ 在 $B C$ 边上， $∠ P A C = 60 °$ ， $P C = 2$ ， $A P + A C = 4$ ．

（Ⅰ）求边AC的长；

（Ⅱ）若 $Δ A P B$ 的面积是 $2 \sqrt{3}$ ，求 $\sin ∠ B A P$ 的值．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若公差 $d \neq 0$ ， $S_{4} = 14$ 且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin 2 x ， \cos 2 x)$ ， $\vec{b} = (\cos 2 x ， - \cos 2 x)$

(1)、若 $x \in (\frac{7 π}{24} ， \frac{5 π}{12})$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2} = - \frac{4}{5}$ ，求 $\sin 4 x$ 的值；

(2)、若 $\cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in [- π ， π]$ ，方程 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2} = m$ 有且只有一个实数根，求实数m的取值范围.

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20. 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足 $t = 5 - \frac{12}{x + 3}$ （其中 $0 \leq x \leq a$ ， $a$ 为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品 $t$ 万件还需投入成本 $(10 + 2 t)$ 万元（不含促销费用），产品的销售价格定为 $(5 + \frac{20}{t})$ 万元/万件．

(1)、将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)、促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} = \frac{3}{4} S_{n} + \frac{1}{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、若不等式 $T_{n} + \frac{a}{n} \cdot 2^{2 n + 1} - \frac{2}{9} > 0$ 对任意 $n \in N^{*}$ 的恒成立，求实数a的取值范围.

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22. 对于 $\forall n \in N^{*},$ 若数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{n + 1} - x_{n} > 1,$ 则称这个数列为“K数列”.

(1)、已知数列1, $m + 1, m^{2}$ 是“K数列”,求实数m的取值范围;

(2)、是否存在首项为-1的等差数列 ${a_{n}}$ 为“K数列”,且其前n项和 $S_{n}$ 使得 $S_{n} < \frac{1}{2} n^{2} - n$ 恒成立?若存在,求出 ${a_{n}}$ 的通项公式;若不存在,请说明理由;

(3)、已知各项均为正整数的等比数列 ${a_{n}}$ 是“K数列”,数列 ${\frac{1}{2} a_{n}}$ 不是“K数列”,若 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{n + 1},$ 试判断数列 ${b_{n}}$ 是否为“K数列”,并说明理由.

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