湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-05-20 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {2, 4}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${2, 3}$ C、 ${3}$ D、 ${1, 3}$

查看试题解析
2. 要完成下列2项调查，应采用的抽样方法是（）
①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；

②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.

A、①用简单随机抽样法 ②用分层抽样法 B、①用分层抽样法 ②用简单随机抽样法 C、①、②都用简单随机抽样法 D、①、②都用分层抽样法

查看试题解析
3. 已知一个奇函数的定义域为 ${1, 2, a, b}$ ，则 $a + b =$ （）

A、-3 B、3 C、0 D、1

查看试题解析
4. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $B C_{1}$ ， $C D_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $M N$ 与 $A C_{1}$ 垂直 B、 $M N$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 垂直 C、 $M N$ 与平面 $C_{1} B D$ 平行 D、 $M N$ 与平面 $A_{1} B D$ 平行

查看试题解析
5. 华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 $p$ 使得 $p + 2$ 是素数，素数对 $(p, p + 2)$ 称为孪生素数.从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
6. 设 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为（    ）
①若 $l ⊥ α, m ⊥ α,$ 则 $l / / m$                 ②若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ, α \cap β = l,$ 则 $l ⊥ γ$

③若 $m / / α, m / / β, α \cap β = l,$ 则 $m / / l$       ④若 $l ⊥ m, m ⊥ α,$ 则 $l / / α$

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
7. 已知 $m > 0, n > 0, k = \log_{2} m = \log_{4} n = \log_{8} (4 m + 3 n)$ ，则 $k =$ （）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2021) =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + 2$ C、 $\sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2} - 2$

查看试题解析
9. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

⑴BM∥ED   ⑵CN与BE是异面直线

⑶CN与BM成60°角

⑷DM⊥BN   ⑸BN⊥平面DEM

以上五个命题中，正确命题的序号是（    ）

A、(3)(4)(5) B、(2)(4)(5) C、(1)(2)(3) D、(2) (3) (4)

查看试题解析
10. 已知 $\frac{\cos 2 α}{\sqrt{2} \sin (α + \frac{π}{4})} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $\tan α + \frac{1}{\tan α}$ 等于（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $- \frac{2}{9}$

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ (e为自然对数的底数)，则不等式 $f (x) \leq f (2 x - 1)$ 解集为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、(-∞，1] C、 $(- \infty, \frac{1}{3}] \cup [1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{3}, 1]$

查看试题解析
12. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $A D = B D$ ， $D C = 2 \sqrt{3}$ ， $D C$ 与平面 $A B C$ 所成的角为60°，则三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{50}{9} π$ B、 $\frac{112}{9} π$ C、 $20 π$ D、 $24 π$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (1, - 3),$ 则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为.

查看试题解析
14. 一支医疗队有男医生45人，女医生m人，用分层抽样抽出一个容量为n的样本，在这个样本中随机取一人担任队长，每个个体被抽到的概率为 $\frac{1}{25}$ ，且样本中的男医生比女医生多5人，则m＝.

查看试题解析
15. 如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且 $\vec{A C} = 3 \vec{A E}$ ，P为BE上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C} (m > 0 ， n > 0)$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为．

查看试题解析
16. 已知 $f (x) = {\begin{cases} | x + 1 | x \leq 0 \\ | \log_{3} x | x > 0 \end{cases}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有四个根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知关于x的不等式： $2 k x^{2} + k x - 3 < 0$

(1)、若不等式的解集为 $(- \frac{3}{2}, 1)$ ，求k的值；

(2)、若不等式的解集为R，求k的取值范围．

查看试题解析
18. 已知 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x - \cos^{2} x$

(1)、求函数 $f (x)$ 取最大值时x的取值集合；

(2)、设锐角 $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $f (C) = 1$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的最大值.

查看试题解析
19. 如图，已知 $Δ A B C$ 是边长为4的正三角形，D，E分别为AC，AB的中点，把 $Δ A D E$ 沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面PDE⊥平面BCDE.

(1)、求PB与平面BCDE所成角的正弦值；

(2)、求点E到平面PBC的距离.

查看试题解析
20. “己亥末，庚子春，荆楚大疫，染者数万.众惶恐，举国防，皆闭户，道无车舟，万巷空寂.幸，医无私，警无畏，民齐心，能者竭力，万民同心.”为了响应教育部门“停课不停学”的号召，各学校纷纷开展网络授课活动.某学校为了解该校高一年级学生“停课不停学”期间学习情况，对某次考试成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计.该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图（2）所示．

(1)、求n和频率分布直方图中的x，y的值；

(2)、在选取的样本中，从[60，70）和[130，140）两个分数段的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽取的两名学生的分数都在[130，140）内的概率.

查看试题解析
21. 如图，P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点， $∠ x O P = \frac{π}{4}$ ，作 $P M ⊥ x$ 轴于M， $P N ⊥ y$ 轴于N， $∠ A O B$ 的两边交正方形 $O M P N$ 的边PM，PN于A，B两点，且 $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，设 $∠ A O M = α (0 \leq α \leq \frac{π}{4})$ ， $f (α) = \vec{O A} \cdot \vec{O B}$

(1)、若 $α = \frac{π}{6}$ ，求 $f (α)$ 的值；

(2)、求 $f (α)$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 一块边长为8的正方形纸片，按如图所示将阴影部分剪下，将剩余的四个底边长为2x的全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD (注：底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面中心的四棱锥），F为底边CD的中点.

(1)、过棱锥的高及点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y，求y的最大值及y取最大值时对应的x值；

(2)、在（1）中y取最大值时，是否存在动点Q，它在该棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FQ⊥SC?若存在，计算其运动轨迹的长度；若不存在，说明理由.

查看试题解析