湖北省部分省重点中学2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\cos 10 ° \sin 70 ° - \sin 10 ° \sin 20 °$ ＝（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 已知直线 $k x - y - k - 1 = 0$ 和以 $M (- 3 ， 1)$ ， $N (3 ， 2)$ 为端点的线段相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k \leq \frac{3}{2}$ B、 $k \geq - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$ D、 $k \leq - \frac{1}{2}$ 或 $k \geq \frac{3}{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (4, 5)$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b} = (- 2, 11)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、-1

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4. 若 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 若a，b为正实数，直线 $2 x + (2 a - 3) y + 2 = 0$ 与直线 $b x + 2 y - 1 = 0$ 互相垂直，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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6. 为了测量河对岸两地A、B之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD，测得CD=a米，再测得∠ACD=90°，∠BCD=30°，∠ADC=45°，∠CDB=105°，据此计算A、B两地之间的距离是（）

A、 $\sqrt{6} a$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2} a$ C、 $(\sqrt{3} + 1) a$ D、 $\sqrt{3} a$

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7. 用一根长为36cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A ， B ， C ，将半径为4cm的球放置在这个框架上（如图）.若M是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为（）

A、72 $\sqrt{3}$ ${cm}^{3}$ B、216 $\sqrt{3}$ ${cm}^{3}$ C、24 $\sqrt{3}$ ${cm}^{3}$ D、6 $\sqrt{3}$ ${cm}^{3}$

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8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）.

A、3：2和1：1 B、2：1和3：2 C、3：2和3：2 D、2：1和1：1

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9. 若 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2 y} = 1$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2} + \sqrt{3}$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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10. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 2$ ，且对任意的实数x ，不等式 $| \vec{a} + x \vec{b} | \geq | \vec{a} + \vec{b} |$ 恒成立，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $- \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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11. 在锐角△ABC中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，若 $b^{2} = c^{2} + a c$ ，则角C的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{4})$ B、 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ D、 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为 $A ， B ， C$ 的对边，O为 $△ A B C$ 的外心，且有 $A B + B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3} A C$ ， $\sin C (\cos A - \sqrt{3}) + \cos C \sin A = 0$ ，若 $\vec{A O} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ， $x ， y \in R$ ，则 $x - y =$ （）

A、-2 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知 $| \vec{A B} | = 3, | \vec{A C} | = 1, \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = (\sqrt{2}, - 1)$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ＝ .

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14. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\sin 2 α - 2 \cos 2 α = 2$ ，则 $\sin α$ ＝ .

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15. 在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， ①若sinA＞sinB ，则A＞B；②若sin2A＝sin2B ，则△ABC一定为等腰三角形；③若 $\cos^{2} A + \cos^{2} B - \cos^{2} C = 1$ ，则△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，则sinA<cosB ．以上结论中正确的有.（填正确结论的序号）

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16. 已知 $M ， N$ 为直线 $3 x + 4 y - 15 = 0$ 上两点，O为坐标原点，若 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ，点E是线段 $B C$ 的中点.

(1)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{A E}$ 的值；

(2)、若 $\vec{A F} = \vec{A E} + λ \vec{A D}$ ，且 $B D ⊥ A F$ ，求 $λ$ 的值.

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18. 已知 $Δ A B C$ 的顶点 $A (5, 1), A B$ 边上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $2 x - y - 5 = 0$ ， $A C$ 边上的高 $B H$ 所在直线方程为 $x - 2 y - 5 = 0$ .求

(1)、顶点 $C$ 的坐标；

(2)、直线 $B C$ 的方程.

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19. △ $A B C$ 中， $a 、 b 、 c$ 分别是角 $A 、 B 、 C$ 的对边，已知 $∠ B = 45^{\circ} ， b = \sqrt{3} c$ ， $D$ 是边 $B C$ 的中点且 $A D = \sqrt{5 - \sqrt{5}}$ .

(1)、求 $\sin A$ 的值；

(2)、求△ $A B C$ 的面积.

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20. 已知向量 $\vec{m}$ ＝(cosx ， sinx)， $\vec{n}$ ＝(cosx ， ﹣sinx)，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $f (\frac{x}{2}) = 1$ ，x $\in$ (0， $π$ )，求tan(x＋ $\frac{π}{4}$ )的值；

(2)、若 $f (α) = - \frac{1}{10}$ ， $α \in$ ( $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ )， $\sin β = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ， $β \in$ (0， $\frac{π}{2}$ )，求 $2 α + β$ 的值．

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21. 已知正三棱锥 $S - A B C$ ，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'}$ 分别在正三棱锥的三条侧棱 $S A ， S B ， S C$ 上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为18 $cm$ ，底面边长为15 $cm$ ，内接正三棱柱的侧面积为180 ${cm}^{2}$ .

(1)、求三棱柱的高；

(2)、当三棱柱的高小于三棱锥高的一半时，求三棱锥 $B^{'} - A B C^{'}$ 的体积.

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22. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供 $x (x \in [0, 10])$ (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府 $x$ (万元)补贴后，防护服产量将增加到 $t = k \cdot (6 - \frac{12}{x + 4})$ (万件)，其中 $k$ 为工厂工人的复工率（ $k \in [0.5, 1]$ ）.A公司生产 $t$ 万件防护服还需投入成本 $(20 + 9 x + 50 t)$ (万元).

(1)、将A公司生产防护服的利润 $y$ (万元)表示为补贴 $x$ (万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；

(2)、在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？

(3)、对任意的 $x \in [0, 10]$ (万元)，当复工率 $k$ 达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.

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