人教A版选修一空间向量与立体几何单元测试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系中，向量 $\vec{a} = (2, - 3, 5)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, 5)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(0, 1, 10)$ B、 $(- 4, 7, 0)$ C、 $(4, - 7, 0)$ D、 $(- 4, - 12, 25)$

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2. 已知 $\vec{a} = (- 1, - 2, 1), \vec{b} = (1, x, - 2)$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 13$ ，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 ， 0)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3$ C、 $\sqrt{35}$ D、 $9$

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4. 在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (2 ， 3 ， 4)$ ，则（）

A、 $l // α$ B、 $l ⊥ α$ C、 $l \subset α$ 或 $l // α$ D、l与 $α$ 斜交

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5. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到平面 $E B D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 设平面 $α$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{n_{1}} = (1 ， 2 ， - 2)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{n_{2}} = (- 2 ， - 4 ， k)$ ，若 $α / / β$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、-4 C、-2 D、4

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7. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 1$ ，则 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角是（）．

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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8. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = B C = A A_{1}$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是棱 $A B$ 、 $B B_{1}$ 的中点，则直线 $E F$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为（）

A、120° B、150° C、30° D、60°

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二、多选题

9. 给出下列命题，其中错误的有（）

A、若空间向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 、 $\vec{p}$ ，满足 $\vec{m} // \vec{n}$ ， $\vec{n} // \vec{p}$ ，则 $\vec{m} // \vec{n}$ B、若空间向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 、 $\vec{p}$ ，满足 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$ C、在空间中，一个基底就是一个基向量 D、任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底

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10. 以下命题正确的是（）

A、若 $\vec{p}$ 是平面 $α$ 的一个法向量，直线 $b$ 上有不同的两点 $A$ ， $B$ ，则 $b // α$ 的充要条件是 $\vec{p} \cdot \vec{A B} = 0$ B、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点不共线，对于空间任意一点 $O$ ，若 $\vec{O P} = \frac{2}{5} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + \frac{2}{5} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 C、已知 $\vec{a} = (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 2 ， 3)$ ，若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则 $k = - \frac{3}{4}$ D、已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $B (4 ， 1 ， 4)$ ， $C (3 ， - 2 ， 2)$ ，则 $A C$ 边上的高 $B D$ 的长为 $\sqrt{13}$

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11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $E ， F$ 分别是 $B C ， A_{1} C_{1}$ 的中点， $D$ 在线段 $B_{1} C_{1}$ 上，则下面说法中正确的有（）

A、 $E F / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ B、若 $D$ 是 $B_{1} C_{1}$ 上的中点，则 $B D ⊥ E F$ C、直线 $E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、直线 $B D$ 与直线 $E F$ 所成角最小时，线段 $B D$ 长为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $H$ 为棱 $A A_{1}$ 上的动点，下列说法正确的是（）

A、 $C H ⊥ B D$ B、二面角 $D_{1} - A B_{1} - C$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ C、三棱锥 $H - B C C_{1}$ 的体积为定值 D、若 $C H ⊥$ 平面 $β$ ，则直线 $C D$ 与平面 $β$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{2}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $M (1 ， - 1 ， 1)$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标是.

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14. 已知 $\vec{a}$ ={3λ，6， λ+6}， $\vec{b}$ ={λ+1，3，2λ}，若 ∥ ，则λ=.

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15. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为1，且 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，则点 $B_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离为.

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16. 如图，在长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，点 $P ， Q$ 分别是棱 $B C$ ， $C D$ 上的动点， $B C = 4 ， C D = 3 ， C C^{'} = 2 \sqrt{3}$ ，直线 $C C^{'}$ 与平面 $P Q C^{'}$ 所成的角为 $30 °$ ，则△ $P Q C^{'}$ 的面积的最小值是.

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四、解答题

17. 如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求点 $D$ 到平面 $B E F$ 的距离；

(2)、求 $B D$ 与平面 $B E F$ 所成的角的余弦值．

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18. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求 $D_{1} E$ 的长；

(2)、求异面直线 $A E$ 与 $B C_{1}$ 所成的角的余弦值.

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19. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中，二面角 $S - A B - D$ 为直二面角， $E$ 为线段 $S B$ 的中点， $∠ D A B = ∠ C B A = 3 ∠ A S B = 3 ∠ A B S = 90 °$ ， $\tan ∠ A S D = \frac{1}{2}$ ， $A B = 4$ .

(1)、求证：平面 $D A E ⊥$ 平面 $S B C$ ；

(2)、求二面角 $C - A E - D$ 的大小.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D ， A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D ， A B ⊥ A D$ ， $P A = P B ， P A ⊥ P B ， A B = A D = \frac{1}{2} C D = 2 ， E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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21. 如图矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ； $E ， Q$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点，沿 $E C$ 将点 $B$ 折起至点 $P$ ，连接 $P A ， P D ， P Q$ .

(1)、当 $∠ P E B = 60^{\circ}$ 时，（如图1），求二面角 $P - E C - B$ 的大小；

(2)、当二面角 $P - E C - B$ 等于 $120^{\circ}$ 时（如图2），求 $P D$ 与平面 $P A Q$ 所成角的正弦值.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B / / D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B E ⊥ D C$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F ⊥ A C$ ，求二面角 $F - A B - P$ 的余弦值.

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