浙江省五校2021届高三下学期数学5月联考试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{1，3} C、{2，4，5} D、{1，2，3，4，5}

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2. 已知 $a \in R$ ，复数 $z = (a^{2} - 3 a + 2) + (a - 1) i$ （ $i$ 为虚数单位）是纯虚数，则复数 $\frac{1}{z + 2}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{3} i$ D、 $- \frac{1}{5} i$

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3. 若 $x ， y$ 满足线性约束条件 ${\begin{array}{l} x + y ⩾ 1 \\ x - y ⩽ 1 \\ x ⩾ 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值是（）

A、0 B、1 C、2 D、-1

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4. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $2^{a + 1} > 2^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = x^{2} + \frac{\ln | x |}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ ，则 $x y$ 的最小值是（）

A、-2 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、-2

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7. 已知不全相等的实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（）

A、 $a$ ， $c$ ， $b$ B、 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ C、 $| a |$ ， $| b |$ ， $| c |$ D、 $\frac{1}{a}$ ， $\frac{1}{b}$ ， $\frac{1}{c}$

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8. 甲、乙、丙、丁、戊5个人分到 $A, B, C$ 三个班，要求每班至少一人，则甲不在A班的分法种数有（）

A、160 B、112 C、100 D、86

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9. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的所有棱长均为2， $E$ 为 $B D$ 的中点，空间中的动点 $P$ 满足 $P A ⊥ P E$ ， $P C ⊥ A B$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $\frac{11 π}{16}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{11} π}{2}$ D、 $\sqrt{3} π$

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上的一点，且 $Q (\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2} ， 0)$ 满足 $∠ F_{1} P Q = \frac{π}{6}$ ， $∠ F_{2} P Q = \frac{π}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{43}}{5}$

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二、填空题

11. 已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱的体积为，表面积为.

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12. 已知直线 $l : y = k x$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若 $k = \frac{1}{3}$ ，直线 $l$ 与圆相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ ，若直线 $l$ 与圆相切，则实数 $k =$ .

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13. 某同学在上学路要经过两个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若他在第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 $\frac{1}{3}$ ；若他在第一个十字路口遇到绿灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 $\frac{2}{3}$ .记他在上学路上遇到红灯的次数为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 0) =$ ， $ξ$ 的数学期望为.

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14. 已知 $x^{6} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} {(x + 1)}^{6}$ ，则 $a_{2} =$ ， $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + a \cos x$ ， $x \in (0, \frac{π}{3}]$ 的最小值为 $a$ ，则实数 $a$ 所有取值组成的集合为.

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16. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，则 $| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{a} - 3 \vec{b} |$ 的最大值是

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17. 已知 $a > 0$ ，设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + (2 + 2 a) x, (0 < x < a + 2) \\ a x, (x \geq a + 2) \end{array}$ ，存在 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \neq x_{0}$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

18. 设常数 $k \in R$ ，已知 $f (x) = k \cos 2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ .
（Ⅰ）若 $f (x)$ 是奇函数，求 $k$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）设 $k = 1$ ， $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $b$ .若 $f (A) = 1$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = a b c$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 中，满足 $A B // C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ，将 $△ B A C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ P A C$ ，使得 $P D = 2$ .

（Ⅰ）求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

（Ⅱ）求直线 $C D$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n} + 2 {(- 1)}^{n + 1}$ ， $b_{n + 1} = a_{n} + b_{n} + {(- 1)}^{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .
（Ⅰ）证明 ${a_{n} + b_{n} - {(- 1)}^{n}}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $c_{n} = a_{n} \cdot \log_{2} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ .

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21. 如图，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 4 x$ 共焦点 $F$ ，且椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

（Ⅱ）若点 $P$ 在射线 $x = 4 (y \geq 2)$ 上运动，点 $A$ ， $B$ 为椭圆 $C_{1}$ 上的两个动点，满足 $A B // O P$ ，且 $Q$ 为 $A B$ 的中点，连接 $P F$ 交抛物线 $C_{2}$ 于 $G$ 、 $H$ 两点，连接 $O Q$ 交椭圆 $C_{1}$ 与 $M$ 、 $N$ 两点，求四边形 $M G N H$ 面积的取值范围.

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22. 已知 $f (x) = a e^{x} - \frac{e}{6} x^{3} + b x^{2} + c x$ ， $(a ， b ， c \in R)$ ，（ $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828$ …）.
（Ⅰ）当 $a = 0$ 时，若函数 $f (x)$ 与直线 $y = e x$ 相切于点 $(1 ， e)$ ，求 $b$ ， $c$ 的值；

（Ⅱ）当 $a = \frac{1}{e}$ 时，若对任意的正实数 $b$ ， $f (x)$ 有且只有一个极值点，求负实数 $c$ 的取值范围.

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