浙江省绍兴市柯桥区2021届高三下学期数学5月高考及选考科目适应性考试试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 0$ 或 $x > 2}$ ， $B = {x | 1 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 4}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | 1 < x < 4}$ D、 ${x | 2 < x < 4}$

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2. 已知复数 $z = \frac{a + i}{2 - i} \in R$ （其中 $a$ 为实数， $i$ 为虚数单位），则 $a =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 已知空间中两平面 $α, β$ ，两直线 $m, l$ ，且 $α \cap β = m$ ， $l \subset β$ ，则“ $l ⊥ m$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + 2 y + 3 \leq 0 \end{array}$ ，设 $z = x - 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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5. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位： ${cm}^{3}$ ）为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 函数 $f (x) = e^{| x + 1 |} - x^{2} - 2 x - 2$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $a = {0.3}^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{0.3}$ ， $c = \log_{0.3} 0.2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 将函数 $y = 2 \sin \frac{x}{2} (x \in [0 ， \frac{π}{2}])$ 的图像绕着原点逆时针旋转角 $α$ 得到曲线 $T$ ，当 $α \in (0 ， θ]$ 时都能使 $T$ 成为某个函数的图象，则 $θ$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3}{4} π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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9. 过点 $M (1, 1)$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 1, b > 1)$ 相交于点 $A$ ， $C$ 和点 $B$ ， $D$ ，满足 $\vec{A M} = λ \vec{M C}$ ， $\vec{B M} = λ \vec{M D}$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）.若直线 $A B$ 的斜率 $k = 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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10. 已知四面体 $A B C D$ ，分别在棱 $A D$ ， $B D$ ， $B C$ 上取 $n + 1 (n \in N^{*} ， n \geq 3)$ 等分点，形成点列 ${A_{n}}$ ， ${B_{n}}$ ， ${C_{n}}$ ，过 $A_{k}$ ， $B_{k}$ ， $C_{k} (k = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 作四面体的截面，记该截面的面积为 $M_{k}$ ，则（）

A、数列 ${M_{k}}$ 为等差数列 B、数列 ${M_{k}}$ 为等比数列 C、数列 ${\frac{M_{k}}{k}}$ 为等差数列 D、数列 ${\frac{M_{k}}{k}}$ 为等比数列

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二、填空题

11. 设二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开中 $x^{3}$ 的系数为 $m$ ，常数项为 $n$ ，则 $m =$ ， $n =$ .

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12. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ ， $\cos α =$ .

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13. 已知直线 $l$ ： $\cos θ \cdot x + \sin θ \cdot y + 1 = 0$ ，（ $θ \in R$ ），圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ .则坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为，若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则直线 $l$ 的斜率是.

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14. 某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生每道题答对的概率都为 $\frac{2}{3}$ ，则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是，该学生在面试时得分的期望值为分.

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15. 如图，一个 $m \times m$ 幻方，要求包含1到 $m^{2}$ 的所有整数，且每一行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在13世纪中国古代数学家杨辉就作出了 $5 \times 5$ 的幻方，那么 $5 \times 5$ 幻方的每一行上整数之和为.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - x^{2} (| x - a | + | x - b |) + x (b > a)$ 有且只有一个零点，则 $2 a + b$ 的取值范围是.

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17. 已知平面向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{3}}$ ， $\vec{p}$ ，满足 $| \vec{e_{1}} | = | \vec{e_{2}} | = | \vec{e_{3}} | = 1$ ， $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = 0$ ， $| \vec{p} | \leq 1$ ，则 $(\vec{p} - \vec{e_{1}}) \cdot (\vec{p} - \vec{e_{2}}) +$ $(\vec{p} - \vec{e_{2}}) \cdot (\vec{p} - \vec{e_{3}}) + (\vec{p} - \vec{e_{3}}) \cdot (\vec{p} - \vec{e_{1}})$ 的最大值为.

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三、解答题

18. 已知函数 $g (x)$ 的图象与函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象关于 $y$ 轴对称.

(1)、求函数 $g (x)$ 的单调递减区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $a = \sqrt{2}$ ， $g (A) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D // B C$ ， $B C = 2 A D = 2 P A = 4$ ， $A B = C D = \sqrt{10}$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 1$ ， $n \in N^{*}$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 满足： $a_{2} b_{4} = 1$ ， $a_{3} b_{7} = S_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {\begin{array}{l} b_{n}, n 为奇数 \\ a_{n} b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdot \cdot \cdot + c_{2 n} < n^{2} + \frac{8}{9}$ ， $n \in N^{*}$ .

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21. 如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，过点 $P (0 ， m) (m > 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切于第一象限的点 $M$ ， $O$ 是坐标原点， $P N ⊥ O M$ 于 $N$ .

(1)、求点 $M$ 的坐标（用 $m$ 表示）：

(2)、求 $| O M | + 2 | O N |$ 的取值范围.

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22. 已知正数 $x$ ， $y$ 满足方程 $(x + 1) (\ln \frac{y}{x} + x + 1) = 2 y e^{x}$ .

(1)、若 $x = y$ ，求证：方程有且只有一个实数解.

(2)、当 $y > 1$ 时，求证： $x < \frac{1}{2}$ ；

(3)、求证： $x \leq 1$ .
参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ， $\sqrt{e} \approx 1.65$ .

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