江苏省百校联考2021届高三下学期数学4月第三次考试试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. “虚数”这个词是17世纪著名数学家､哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程 $x^{2} + 1 = 0$ 在实数范围内没有解.已知复数 $z$ 满足 $z^{2} + 4 i = 0$ ，则 $| z | =$ （）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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2. 已知集合 $A = {x \in R | x^{2} - x + t < 0 ， t \in R}$ ， $B = {x \in R | x^{2} + x - 6 < 0}$ ，若 $A \cup B = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 3 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 3)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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3. 《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等.及其用也，乃有三焉.十等者，亿､兆､京､垓､秭､壤､沟､涧､正､载.三等者，谓上､中､下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也.中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京.上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也.从亿至载，终于大衍.下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用.故其传业，唯以中数耳.”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即 $10^{4} = 1$ 万， $10^{8} = 1$ 亿， $10^{12} = 1$ 兆， $10^{16} = 1$ 京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是（）

A、21 B、20 C、25 D、24

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4. 已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13､25､41，下列各数一定是该数列的项的是（）

A、2019 B、2020 C、2021 D、2022

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5. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共面向量，设 $\vec{O A} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = 3 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O D} = \vec{a} + 3 \vec{b}$ ，若 $△ O A B$ 的面积为3，则 $△ O C D$ 的面积为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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6. 正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + \sin a = 2$ ， $b + 3^{b} = 3$ ， $c + \log_{4} c = 4$ ，则实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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7. 已知四面体 $A B C D$ 的四个顶点都在以 $A B$ 为直径的球 $R$ 面上，且 $B C = C D = D B = 2$ ，若四面体 $A B C D$ 的体积是 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，则这个球面的面积是（）

A、 $16 π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $4 π$ D、 $\frac{76}{3} π$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x ， x > 1 \\ \frac{1}{4} x + 1 ， x \leq 1 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - k x$ ，若函数 $g (x)$ 有两个零点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{e l n 2})$ C、 $[0 ， \frac{1}{e})$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{e l n 2})$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标 $x O y$ 中，已知圆 $O$ 过点， $A (3 ， 4)$ 、 $B$ 、 $C$ 且 $\vec{B C} = \vec{O A}$ ，则（）

A、直线 $B C$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ B、 $∠ A O C = 60^{\circ}$ C、 $△ A B C$ 的面积 $\frac{25 \sqrt{3}}{2}$ D、点 $B$ 、 $C$ 在同一象限内

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设曲线 $C$ 的方程是 $x y = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 上的点与定点 $F (\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ 距离的最小值是 $2 - \sqrt{2}$ B、曲线 $C$ 上的点和定点 $F (\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ 的距离与到定直线 $l$ ： $x + y - \sqrt{2} = 0$ 的距离的比是 $\sqrt{2}$ C、曲线 $C$ 绕原点顺时针旋转 $45 °$ ，所得曲线方程是 $x^{2} - y^{2} = 2$ D、曲线 $C$ 的切线与坐标轴围成的三角形的面积是4

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11. 设 ${(1 - 2 x)}^{29} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{29} x^{29}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{15} + a_{16} > 0$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{29} = - 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{29} = - \frac{1 + 3^{29}}{2}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 29 a_{29} = - 58$

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12. 下列结论正确的是（）

A、存在这样的四面体 $A B C D$ ，四个面都是直角三角形 B、存在这样的四面体 $A B C D$ ， $∠ B A C = ∠ C A D = ∠ D A B = ∠ B C D = 90 °$ C、存在不共面的四点 $A$ ､ $B$ ､ $C$ ､ $D$ ，使 $∠ A B C = ∠ B C D = ∠ C D A = 90 °$ D、存在不共面的四点 $A$ ､ $B$ ､ $C$ ､ $D$ ，使 $∠ ABC = ∠ BCD = ∠ CDA = ∠ DAB = 90 °$

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三、填空题

13. 已知 $f (x) = \sin (2 x + φ) + \sqrt{3} \cos (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 是奇函数，若 $\forall x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $m \leq \sin (2 x + φ) \leq n$ ，则 $n - m$ 的最小值是.

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14. 集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列， $A \cap B$ 的元素个数是1，在 $A \cup B$ 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是.

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15. 设数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 各项互不相同，且 $a_{i} \in {1, 2, 3, 4} (i = 1, 2, 3, 4)$ .若下列四个关系① $a_{1} = 1$ ；② $a_{2} \neq 1$ ；③ $a_{3} = 2$ ；④ $a_{4} \neq 4$ 中恰有一个正确，则 $(10 a_{1} + a_{2}) - (10 a_{3} + a_{4})$ 的最大值是.

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16. 设抛物线 $C_{1}$ ： $y = x^{2} - 2 x + 2$ 和 $C_{2}$ ： $y = - x^{2} + a x + b$ 在它们的一个交点处的切线互相垂直，则 $C_{2}$ 过定点.

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四、解答题

17.

(1)、写出一个等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，使 ${a_{n}}$ 满足① $a_{1} \neq 0$ ，② ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列，其中 $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.(写出一个就可以，不必证明)

(2)、对于（1）中的 ${a_{n}}$ ，设 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = D C = C B = 1$ .

(1)、当A、B、C、D共圆时，求 $\cos A$ 的值；

(2)、若 $\cos ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求 $\sin ∠ A B C$ 的值.

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19. 某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元.如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉.奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：

日需求量杯数	20	25	30	35	40	45	50
天数	5	5	10	15	10	10	5

以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(1)、从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；

(2)、①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用

ξ

表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求

ξ

的分布列和数学期望；

②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由.

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20. 如图，矩形 $B C D E$ 所在平面与 $△ A B C$ 所在平面垂直， $∠ A C B = 90 °$ ， $B E = 2$ .

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若平面 $A D E$ 与平面 $A B C$ 所成锐二面角的余弦值是 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且直线 $A E$ 与平面 $B C D E$ 所成角的正弦值是 $\frac{1}{3}$ ，求异面直线 $D E$ 与 $A B$ 所成角的余弦值.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{1}{2}$ ，焦点到相应准线的距离是3.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、已知 $A$ ､ $B$ 是椭圆 $C$ 上关于原点对称的两点， $A$ 在 $x$ 轴的上方， $F (1 ， 0)$ ，连接 $A F$ ､ $B F$ 并分别延长交椭圆 $C$ 于 $D$ ､ $E$ 两点，证明：直线 $D E$ 过定点.

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22. 设 $0 < x < 1$ .

(1)、证明： $1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{\sin x}{x} < 1$ ；

(2)、若 $a x - \frac{x^{3}}{6} < \sin x$ ，求 $a$ 的取值范围.

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