河南省安阳市2021届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 3 x^{2} - 4 x - 4 < 0}$ ， $N = {y | | y - 1 | \leq 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[0, 2)$ B、 $(- \frac{2}{3}, 0]$ C、 $[1, 2]$ D、 $\emptyset$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $| z - 2 | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知 $a = \sqrt[3]{2}$ ， $b = \log_{\frac{3}{2}} \frac{3}{4}$ ， $c = {(\frac{2}{3})}^{4}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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4. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} a_{m} = a_{6} a_{n}$ ， $a_{m}^{2} = a_{6} a_{10}$ ，则 $m + n =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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5. 函数 $y = \sin x \cdot \ln | x |$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，则 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{| \vec{a} |}^{2}}$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7. 为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遗方案共有（）

A、24种 B、36种 C、48种 D、64种

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8. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x + 2 y - 4 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \leq 0 \\ 3 x + y + 3 \geq 0 \end{cases}$ ，则 $z = a x + y$ (a为常数，且 $1 < a < 3$ )的最大值为（）

A、-a B、2a C、-2a+3 D、2

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9. 已知曲线 $y = \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}$ 与直线 $k x - y + k - 1 = 0$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ B、 $(0 ， \frac{3}{4})$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{2}{3})$

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10. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调，且在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上存在极值点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， 2]$ B、 $(\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{7}{6}]$ D、 $(0 ， \frac{7}{6}]$

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11. 在棱长为2的正四面体 $A B C D$ 中，点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一动点，且满足 $| \vec{P A} | + | \vec{P B} | = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则PD的最大值为（）

A、3 B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{39}}{3}$ D、2

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过第一､三象限的渐近线为l，过右焦点F作l的垂线，垂足为A，线段AF交双曲线于B，若 $| B F | = 2 | A B |$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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二、填空题

13. 某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是.

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14. 一个球的表面积为 $100 π$ ，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则球心到这个平面的距离为.

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15. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{6} = 0$ ， $a_{7} = 7$ ，若 $\frac{a_{m} a_{m + 1}}{a_{m + 2}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的项，则 $m =$ .

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) > 0$ ， $f (x) + f^{'} (x) < 0$ ，若 $0 < x_{1} < 1 < x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$ .给出以下不等式：
① $f (x_{1}) > e^{x_{2} - x_{1}} f (x_{2})$ ；

② $x_{1} f (x_{2}) < x_{2} f (x_{1})$ ；

③ $x_{1} f (x_{1}) > x_{2} f (x_{2})$ ；

④ $f (x_{2}) > (1 - x_{1}) f (x_{1})$ .

其中正确的有.(填写所有正确的不等式的序号)

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b sin C + a sin A = b sin B + c sin C$ .

(1)、求A；

(2)、设 $D$ 是线段 $B C$ 的中点，若 $c = 2$ ， $A D = \sqrt{13}$ ，求 $a$ .

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18. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A D = D C = C B$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，四边形 $A C E F$ 是矩形.

(1)、求证： $A C ⊥ E B$ ；

(2)、若 $C E = B C$ ，且 $C E ⊥ B C$ ，求 $E B$ 与平面 $F B D$ 所成角的正弦值.

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19. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线方程，并证明 $f (x)$ 的图象上除点 $A$ 以外的所有点都在这条切线的上方；

(2)、若函数 $g (x) = (\ln x + 1) \cdot \sin 2 x - 2 f (x) \cos 2 x$ ， $x \in [\frac{1}{e} ， \frac{π}{2})$ ，证明： $g (x) \geq \frac{2}{e} \cos \frac{2}{e}$ .

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20. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $△ A O B$ (点 $O$ 为坐标原点)的面积为2.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若过点 $E (0, a) (a > 0)$ 的两直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的倾斜角互补，直线 $l_{1}$ 与抛物线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，直线 $l_{2}$ 与抛物线 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $△ F M N$ 与 $△ F P Q$ 的面积相等，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 甲､乙两人进行乒乓球比赛，两人约定打满 $2 k + 1 (k \in N^{+})$ 局，赢的局数多者获得最终胜利，已知甲赢得单局比赛的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，设甲获得最终胜利的概率为 $a_{k}$ .

(1)、证明： $\frac{a_{1}}{p} \leq \frac{9}{8}$ ；

(2)、当 $\frac{1}{2} < p < 1$ 时，比较 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1}$ 的大小，并给出相应的证明.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos φ \\ y = \sin φ \end{array}$ ，( $φ$ 为参数)，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ ，( $t$ 为参数， $0 \leq α \leq π$ ).

(1)、若曲线 $C$ 与 $y$ 轴负半轴的交点在直线 $l$ 上，求 $α$ ；

(2)、若 $tan α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 等，求曲线 $C$ 上与直线 $l$ 距离最大的点的坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | 2 x - 5 | - 7$ .

(1)、在如图所示的网格中画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、若当 $x < 1$ 时､ $f (x) > f (x + a)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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