贵州省毕节市2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \ln (1 - x)}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x + 1}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[0, 1)$ D、 $\emptyset$

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2. 若复数z满足 $z (2 - i) = 1$ （i是虚数单位），则z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，先后两次从袋中不放回的各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图，则剩余几何体的表面积为（）

A、 $16$ B、 $18$ C、 $16 + 2 \sqrt{3}$ D、 $18 + 2 \sqrt{3}$

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5. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2015年是“干支纪年法”中的（）

A、甲辰年 B、乙巳年 C、丙午年 D、乙未年

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6. 若曲线 $y = \ln x + 1$ 上到直线 $y = x + m$ 的距离为2的点有4个，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{2})$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若 $\vec{B A} \cdot \vec{C A} = 7$ ， $\vec{B E} \cdot \vec{C E} = 2$ ，则 $\vec{B F} \cdot \vec{C F} =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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8. 已知定义在 $[a ， b]$ 上的函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，给出下列命题：

①函数 $y = f (x)$ 在区间 $[x_{2} ， x_{4}]$ 上单调递减；

②若 $x_{4} < m < n < x_{5}$ ，则 $\frac{f^{'} (m) + f^{'} (n)}{2} > f^{'} (\frac{m + n}{2})$ ；

③函数 $y = f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上有3个极值点；

④若 $x_{2} < p < q < x_{3}$ ，则 $[f (p) - f (q)] \cdot [f^{'} (p) - f^{'} (q)] < 0$ ．

其中正确命题的序号是（）

A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

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9. 如图，有甲、乙、丙三个盘子和放在甲盘子中的四块大小不相同的饼，按下列规则把饼从甲盘全部移到乙盘中：①每次只能移动一块饼；②较大的饼不能放在较小的饼上面，则最少需要移动的次数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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10. 设函数 $f (x) = \ln | 3 x + 2 | - \ln | 3 x - 2 |$ ，则 $f (x)$ （）

A、是偶函数，在 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ 上单调递减 B、是奇函数，在 $(- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ 上单调递增 C、是偶函数，在 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 上单调递增 D、是奇函数，在 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ 上单调递增

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11. 已知点F为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，过点F的直线l与曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，与C的另一条渐近线的交点为M，若 $\vec{M N} = 3 \vec{F N}$ ，则双曲线C的离心率e的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，且当 $x \in (- \infty ， 1)$ 时， $(x - 1) \cdot f^{'} (x) > 0$ （其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数）．设 $a = f (\log_{2} 3)$ ， $b = f (\log_{3} 2)$ ， $c = f (\log_{3} 4)$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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二、填空题

13. $C_{10}^{1} - C_{10}^{2} + C_{10}^{3} - C_{10}^{4} + \cdot \cdot \cdot + C_{10}^{9} - C_{10}^{10} =$ （用数字作答）．

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14. 已知公比为q的等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公差为d的等差数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $S_{n} + T_{n} = 2^{n + 1} + n^{2} - 2$ ，则 $\frac{q}{d}$ 的值为．

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15. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，三条棱 $O A ， O B ， O C$ 两两垂直， $O A = 4 ， O B = 3 ， O C = 2$ ．分别经过三条棱 $O A ， O B ， O C$ 作截面平分三棱锥的体积，则这三个截面的面积的最大值为．

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16. 由集合 $P = {(x ， y) | {(x - \cos θ)}^{2} + {(y - \sin θ)}^{2} = 9 ， π \leq θ \leq 2 π}$ 中所有点组成的图形如图阴影部分所示，其外廓形如“心脏”，中间白色部分形如倒立的“水滴”．则阴影部分与y轴相交的两条线段长度和为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} - 2 \cos x \cos (x + \frac{π}{3})$ ，在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $f (C) = 1$ ．

(1)、求C；

(2)、点D为 $A B$ 边中点，且 $C D = \sqrt{7}$ ．给出以下条件：① $a = 2$ ；② $c = 2 \sqrt{3} (c < b)$ ．
从①②中仅选取一个条件，求b的值．

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18. 某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩X服从正态分布 $N (300, 150^{2})$ ，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．

(1)、已知 $P (144 < X \leq 300) \approx 0.35$ ，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？

(2)、某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？

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19. 如图，直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 底面是菱形，点E，F分别在棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 上，且 $A E = 3 A_{1} E$ ， $C_{1} F = 3 C F$ ．

(1)、求证：E，D，F， $B_{1}$ 四点共面；

(2)、若 $A A_{1} = A C = 2 B D$ ，求直线 $B F$ 与平面 $E B_{1} F$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，A为椭圆上一点（不在x轴上），满足 $\frac{\sin ∠ A F_{1} F_{2} + \sin ∠ A F_{2} F_{1}}{\sin ∠ F_{1} A F_{2}} = \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过椭圆内一点 $P (t, 0) (t \neq 0)$ 且斜率为 $\frac{1}{m}$ 的直线l交椭圆C于M，N两点，设直线 $O M, O N$ （O为坐标原点）的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若对任意非零实数m，存在实数 $λ$ ，使得 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = λ m$ ，求实数 $λ$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = (1 - x) e^{x} + m$ ，若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $b x + y = e + 1$ ．

(1)、求实数b，m的值；

(2)、若正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} e^{a_{n + 1}} = e^{a_{n}} - 1 ， a_{1} = 1$ ，判断并证明数列 ${a_{n}}$ 的单调性．

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22. 如图，在极坐标系 $O x$ 中， $A (4 ， \frac{π}{2})$ 、 $B (2 \sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ 、 $C (2 \sqrt{2} ， \frac{7 π}{4})$ 、 $D (4 ， \frac{3 π}{2})$ ，弧 $\overset{⌢}{A B}$ 、弧 $\overset{⌢}{B C}$ 、弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在圆的圆心分别是 $(2 ， \frac{π}{2})$ 、 $(2 ， 0)$ 、 $(2 ， \frac{3 π}{2})$ ，曲线 $C_{1}$ 是弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，曲线 $C_{2}$ 是弧 $\overset{⌢}{B C}$ ，曲线 $C_{3}$ 是弧 $\overset{⌢}{C D}$ ，曲线 $C ： f (ρ ， θ) = 0 (0 \leq θ < 2 π)$ 由 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 构成．

(1)、写出曲线 $C$ 的极坐标方程，并求曲线 $C$ 与直线 $θ = \frac{π}{2} (ρ \in R)$ 所围成图形的面积；

(2)、若点 $M$ 在曲线 $C$ 上，且 $| O M | = 2 \sqrt{3}$ ，求点 $M$ 的极坐标．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) < x + 4$ ；

(2)、若k是 $f (x)$ 的最小值，已知 $m > 0, n > 0$ ，且 $(k + 1) m + n = 1$ ，求证： $k^{2} m n \leq m + n$ ．

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