浙江省绍兴市诸暨市2021届高三下学期数学5月适应性考试试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合满足 ${1, 2} \subseteq A \subseteq {1, 2, 3}$ ，则集合A可以是（）

A、{3} B、 ${1, 3}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${1, 2}$

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2. 已知x，y为正实数，则（）

A、 $\lg (x^{2} \cdot y) = {(\lg x)}^{2} + \lg y$ B、 $\lg (x \cdot \sqrt{y}) = \lg x + \frac{1}{2} \lg y$ C、 $e^{\ln x + \ln y} = x + y$ D、 $e^{\ln x \cdot \ln y} = x y$

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3. 已知z是复数，i是虚数单位，则“ $z = - i$ ”是“ $z^{2} = - 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{(1 - x^{2}) \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的部分图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的渐近线过点 $(2 a, c)$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 ， \\ x - y \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = | 2 x + y |$ 的取值范围是（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $[4 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 3]$ D、 $[0 ， 4]$

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7. 设 $m, n > 0$ ，若随机变量 $ξ, η$ 的分布列如下：

$ξ$

-1

0

2

$η$

$- \frac{5}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{13}{2}$

$P$

$m$

$\frac{1}{2}$

$n$

则下列说法错误的是（）

A、 $m + n = \frac{1}{2}$ B、 $P (ξ > 0) < P (η > 0)$ C、 $E (ξ) < E (η)$ D、 $D (ξ) < D (η)$

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8. 已知底面 $A B C D$ 为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ ， $P$ 点的射影在正方形 $A B C D$ 内，且 $P$ 到 $B C$ 的距离等于 $P D$ 的长，记二面角 $P - A B - C$ 的平面角为 $α$ ，二面角 $P - C D - A$ 的平面角为 $β$ ，二面角 $P - A D - C$ 平面角为 $γ$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $α = β = γ$ B、 $α = γ < β$ C、 $α = β < γ$ D、 $α > β = γ$

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} > 0$ ， $a_{1} = 1$ ，公差为d，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = e^{a_{n} - 2} + e^{2 - a_{n}}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $b_{n} \geq b_{5}$ ，则公差d的取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{11} ， \frac{2}{9}]$ B、 $[\frac{2}{9} ， \frac{2}{7}]$ C、 $[\frac{2}{11} ， \frac{2}{7}]$ D、 $[\frac{2}{9} ， \frac{2}{5}]$

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (0 < a < b)$ 没有极值点，则 $\frac{b - a}{a + b + c}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $2 \sqrt{5} - 3$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $2 \sqrt{7} - 5$

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二、填空题

11. 已知角 $α$ 的终边过点 $(1, 2)$ ，则 $\tan α =$ ， $\sin 2 α =$ ．

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12. 已知 ${(x + 2)}^{6} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{6} {(x + 1)}^{6}$ ，则 $a_{3} =$ ； $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ ．

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13. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 $\frac{2}{3}$ ．已知 $A (- 2 ， 1) ， B (2 ， 1)$ 为抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为；弦 $A B$ 与抛物线所围成的封闭图形的面积为．

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14. 某几何体的三视图如图所示，俯视图为平行四边形，内部图形为扇形，正视图、侧视图上方为直角三角形，下方为矩形，则三视图中侧视图的面积为；该几何体的体积为．

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15. 已知P是圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，动点 $A$ ， $B$ 的坐标为 $A (t, 0)$ ， $B (t + 4, 3)$ ，其中 $t \in R$ .若恰好存在一个点 $P$ ，使得 $P A ⊥ P B$ ，则 $t =$ .

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16. 把编号为 $i (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ 的五个小球随机放入编号为 $j (j = 1, 2, 3, 4, 5)$ 的五个盒子，每盒一个小球，若满足 $| i - j | \leq 2$ ，则不同的放法共有种．

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17. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足： $| \vec{a} | = | \vec{c} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = | \vec{b} |$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 的最大值是．

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三、解答题

18. 如图，已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D = 1$ ．

(1)、若 $A D = \sqrt{2}$ ， $∠ A D B = \frac{π}{4}$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(2)、若 $B C = t$ ， $A D = \sqrt{2} t$ ， $∠ C - ∠ A = \frac{π}{4}$ ，求t的最大值．

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 各棱长均为2， $∠ A_{1} A B = 60 °$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、若二面角 $A_{1} - A B - C$ 为 $60 °$ ，求 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = λ a_{n} + n + 1 ， (n \in N^{*} ， λ \in R)$ ， $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 $λ = 1$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $λ = 2$ ，求证： $S_{n} < \frac{3}{2}$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ．

（参考公式：过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上一点 $(x_{1} ， y_{1})$ 的切线方程为 $\frac{x_{1} x}{a^{2}} + \frac{y_{1} y}{b^{2}} = 1$ ）

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过椭圆C外一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，记 $P A ， P B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{4}$ ．
①求P点轨迹方程；

②求证： $△ P A B$ 的面积为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x - 1$ ， $(a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x \ln x + (a - 1) x$ .
①若 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求实数 $a$ 的取值范围；

②若 $g (x)$ 的一个极值点为 $x_{1}$ ，且 $x_{1} \in (1 ， + \infty)$ ，求 $g (x_{1})$ 的最大值．

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$ξ$	-1	0	2
$η$	$- \frac{5}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{13}{2}$
$P$	$m$	$\frac{1}{2}$	$n$