天津市部分区2021届高三下学期数学质量调查试卷（二）

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 2, 0, 1}$ ， $N = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 2}$ B、 ${- 2, 0, 1}$ C、 ${- 2, 0, 1, 2}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$

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2. 已知 $a, b, c \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = x - \frac{a}{| x |} (0 < a < 1)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥 $M - A B C D$ 为阳马，侧棱 $M A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $M A = 1$ ， $B C = 2$ ， $A B = 3$ ．若该四棱锥的顶在都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、14π B、20π C、25π D、28π

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5. 某工厂对一批新研发产品的长度（单位：mm）进行测量，将所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图加图所示，据此图估计这批产品长度的中位数是（）

A、23.25mm B、22.50mm C、21.75mm D、21.25mm

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6. 已知 $a = 2^{\frac{3}{2}}$ ， $b = {(\frac{3}{2})}^{2}$ ， $c = \log_{2} \frac{3}{2}$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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7. 设 $F (c, 0)$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，圆 $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 与E的两条渐近线分别相交于A ， B两点，O为坐标原点，若四边形OAFB是边长为4的菱形，则E的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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8. 下面四个命题，其中所有真命题的编号为（）
①函数 $y = \sin^{2} x - \cos^{2} x$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ ；②终边在 $x$ 轴上的角的集合是 ${α | α = k π ， k \in Z}$ ；③把函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象；④函数 $y = \sin (x - \frac{π}{2})$ 在区间 $[0 ， π]$ 上单调递减．

A、②③ B、②④ C、①③ D、①④

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9. 已知定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{3} x | ， 0 < x \leq 3 ， \\ - x + 4 ， x > 3. \end{array}$ 若函数 $y = f (x) - a (a \in R)$ 恰有六个零点，且分别记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} \cdot x_{5} \cdot x_{6}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 9 ， - 4)$ B、 $(- 4 ， 9)$ C、 $(- 16 ， - 9)$ D、 $(- 16 ， - 4)$

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二、填空题

10. i是虚数单位，则 $| \frac{1 - 2 i}{1 - i} | =$ ．

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11. ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为（用数字作答）．

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12. 已知过点 $P (0, 1)$ 的直线l与直线 $4 x - 3 y = 0$ 垂直，l与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 6 = 0$ 相交于A ， B两点，则 $| A B | =$ ．

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13. 某学校团委在2021年春节前夕举办教师“学习强国”知识答题赛，其中高一年级的甲、乙两名教师组队参加答题赛，比赛共分两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题．已知甲答对每个题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙答对每个题的概率为 $\frac{1}{2}$ ．假定甲、乙两人答题正确与否互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为．

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $4 a^{2} + 9 b^{2} - 2 a b = 20$ ，则 $a b$ 的最大值为．

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15. 如图，在四边形ABCD中， $A B = 2$ ， $C D = 4$ ，向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{D C}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．若E ， F分别是边AD的三等分点和中点， $M$ ， $N$ 分别是边 $B C$ 的三等分点和中点，则 $| \vec{F N} |$ ， $\vec{E M} \cdot \vec{F N} =$ ．

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三、解答题

16. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 7$ ， $B C = 8 ，$ ， $B D = 5$ ， $∠ D B C = \frac{π}{3}$ ， $∠ A D B = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求边CD的长；

(2)、设 $∠ B A D = θ$ ，求 $\sin (θ - \frac{π}{6})$ 的值．

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C A = C B = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，侧棱 $A A_{1} = 1$ ， $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} B ⊥ C_{1} M$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值；

(3)、求二面角 $A - A_{1} B - C$ 的正弦值．

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18. 设 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{4}$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{8}$ 的等比中项，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $3 b_{n} - 2 S_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n + 2}, n 为奇数, \\ b_{n}, n 为偶数 . \end{array}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n + 1$ 项和．

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19. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ．已知 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过焦点 $F_{2}$ 的直线l交C于A ， B两点，当焦点 $F_{1}$ 到直线l的距离最大时，恰有 $| A F_{2} | = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $(a ， b)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交C于E ， F两点，E在第一象限，点P在C上．若线段EF的中点为M ，线段EM的中点为N ，求 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 3 x) e^{x}$ ， $g (x) = a \ln x$ ，其中 $a \leq e$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的最小值；

(3)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设函数 $h (x) = \frac{f^{'} (x)}{2 x + 3} - g (x)$ 的图象与 $x$ 轴有且仅有一个公共点，求 $a$ 的取值范围．

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