四川省南充市2021届高三理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x \leq 0}$ ， $B = {x | x = 2 n + 1, n \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{0} B、{1} C、 ${0, 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 设复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 5 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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3. 随机变量 $X$ 的分布列为

$X$

0

1

$m$

$P$

$\frac{1}{5}$

$n$

$\frac{3}{10}$

若 $E (X) = 1.1$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0.49 B、0.69 C、1 D、2

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4. $(a x - y) {(x + y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3} y^{2}$ 的系数为-2，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-1 C、1 D、 $\frac{1}{3}$

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5. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 2$ ， $S_{m + 2} - S_{m} = 24$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的以 $5$ 为周期的偶函数，若 $f (- 1) > - 6$ ， $f (2021) = \frac{3 - a}{2 a - 4}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{21}{11})$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{21}{11}) \cup (2, + \infty)$ D、 $(\frac{21}{11}, 2)$

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7. 已知函数 $f (x) = a \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的图象的一条对称轴为 $x = - \frac{π}{6}$ ，且 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - 4$ ，则 $| x_{1} + x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、0

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8. 我国唐代天文学家、数学家张逐以“李白喝酒”为题材写了一道算题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”如图是源于其思想的一个程序框图，即当输出的 $m = 0$ 时，输入的 $m$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、4

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9. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $M$ 在双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = λ$ （ $λ$ 为正常数）上，过点 $M$ 作双曲线 $C$ 的某一条渐近线的垂线，垂足为 $N$ ，则 $| O N | \cdot | M N |$ 的值为（）

A、 $\frac{λ}{2}$ B、 $λ$ C、 $2 λ$ D、无法确定

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10. 已知边长为1的等边三角形 $A B C$ 与正方形 $A B D E$ 有一公共边 $A B$ ，二面角 $C - A B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）

A、2π B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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11. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $y = e^{x}$ 上一点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ，曲线 $C_{2}$ ： $y = 1 + \ln x (x - m)$ $(m > 0)$ 上一点 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $y_{1} = y_{2}$ 时，对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 都有 $| A B | \geq e$ 恒成立，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $e - 1$ B、 $\sqrt{e}$ C、1 D、 $e + 1$

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12. 已知点 $A (1 ， - 1)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (2 ， 2)$ ，平面区域 $D$ 是由所有满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （其中 $λ \in [1 ， a]$ ， $μ \in [1 ， b]$ ）的点 $P (x ， y)$ 组成的区域，若区域 $D$ 的面积为 $8$ ，则 $4 a + b$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $5 + 4 \sqrt{2}$ C、5 D、9

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{r} 3 x + y + 1 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x + 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = - x + 2 y$ 的最小值为．

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14. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前3项和为14，且 $a_{3} = 8$ ，则 $a_{5} =$ ．

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15. 直线 $y = \sqrt{3} x$ 交椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $| A B | = 4 \sqrt{3}$ ． $F$ 是椭圆的右焦点，若 $A F ⊥ B F$ ，则 $a =$ ．

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16. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，如果存在函数 $g (x) = a x + b$ （ $a, b$ 为常数），使得 $f (x) \geq g (x)$ 对一切实数 $x$ 都成立，则称 $g (x)$ 为函数 $f (x)$ 的一个承托函数．给出如下命题：
① 函数 $g (x) = - 2$ 是函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x, x > 0 \\ 1 ， x \leq 0 \end{array}$ 的一个承托函数；

② 函数 $g (x) = x - 1$ 是函数 $f (x) = x + \sin x$ 的一个承托函数；

③ 若函数 $g (x) = a x$ 是函数 $f (x) = e^{x}$ 的一个承托函数，则a的取值范围是 $[0, e]$ ；

④ 值域是 $R$ 的函数 $f (x)$ 不存在承托函数．其中，所有正确命题的序号是．

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三、解答题

17. 已知在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \sin B + b \cos A = 0$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{5}, b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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18. 某电子商务公司随机抽取1000名网购者进行调查.这1000名购物者2018年网购金额(单位：万元)均在区间

[0.3 ， 0.9]

内，样本分组为：

[0.3 ， 0.4)

，

[0 ， 4 ， 0.5)

，

[0.5 ， 0.6)

，

[0.6 ， 0.7)

，

[0.7 ， 0.8)

，

[0.8 ， 0.9)

，购物金额的频率分布直方图如下：

电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：

购物金额分组	$[0.3 ， 0.5)$	$[0.5 ， 0.6)$	$[0.6 ， 0.8)$	$[0.8 ， 0.9)$
发放金额	50	100	150	200

(1)、求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；

(2)、以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 90 °$ ， $A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = A A_{1} = 2$ ，顶点 $C$ 在底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 上的射影为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 是线段 $C C_{1}$ 上除端点以外的一点．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若二面角 $B_{1} - A_{1} E - C_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{11}$ ，求 $\frac{C_{1} E}{C_{1} C}$ 的值．

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20. 已知动圆 $O_{1}$ 过定点 $A (2 ， 0)$ ，且在 $y$ 轴上截得弦 $M N$ 的长为 $4$ ．

(1)、求动圆圆心 $O_{1}$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、若 $B (x_{0} ， 2)$ 在轨迹 $C$ 上，过点 $B$ 作轨迹 $C$ 的弦 $B P$ ， $B Q$ ，若 $B P ⊥ B Q$ ，证明：直线 $P Q$ 过定点，并求出定点的坐标．

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21. 已知函数 $u (x) = \frac{a}{x} - \ln x (a \in R)$
（Ⅰ）若曲线 $u (x)$ 与直线 $y = 0$ 相切，求 $a$ 的值.

（Ⅱ）若 $e + 1 < a < 2 e$ 设 $f (x) = | u x | - \frac{\ln x}{x}$ 求证： $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $| x_{2} - x_{1} | < e$ .（ $e$ 为自然对数的底数）

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}; x = - 2$ ，圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ,以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，设 $C_{2}, C_{3}$ 的交点为 $M, N$ ，求 $Δ C_{2} M N$ 的面积．

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23. 已知函数f(x)＝|x－2|.

(1)、求不等式f(x)≤5－|x－1|的解集；

(2)、若函数g(x)＝ $\frac{1}{x}$ －f(2x)－a的图象在 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ 上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围.

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$X$	0	1	$m$
$P$	$\frac{1}{5}$	$n$	$\frac{3}{10}$