上海市奉贤区2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、填空题

1. 经过点 $(2, 4)$ 的抛物线 $y = a x^{2}$ 焦点坐标是.

查看试题解析
2. 把一个表面积为 $16 π$ 平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥(假设没有任何损耗)，则圆锥的高是厘米.

查看试题解析
3. 已知 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ( $i$ 是虚数单位)是方程 $x^{2} - a x + 1 = 0$ $(a \in R)$ 的一个根，则 $| \bar{z} - a | =$ .

查看试题解析
4. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} + a_{7} - a_{6}^{2} = 0$ ，则 $S_{11} =$ ．

查看试题解析

5. 已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为万元.

家庭年收入

(以万元为单位)

$[4, 5)$

$[5, 6)$

$[6, 7)$

$[7, 8)$

$[8, 9)$

$[9, 10)$

频率 $f$

0.2

0.26

0.07

查看试题解析

6. 某参考辅导书上有这样的一个题：△ $A B C$ 中， $\tan A$ 与 $\tan B$ 方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $\tan C$ 的值为（）
A． $- \frac{3}{2}$ B． $\frac{3}{2}$ C． $- \frac{1}{2}$ D． $\frac{1}{2}$

你对这个题目的评价是.(用简短语句回答)

查看试题解析
7. 用0，1两个数字编码，码长为4（即为二进制四位数，首位可以是0），从所有码中任选一码，则码中至少有两个1的概率是.

查看试题解析
8. 设 $S_{n}$ 为正数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n + 1} = q S_{n} + S_{1}$ ， $q > 1$ ，对任意的 $n \geq 1$ ， $n \in N$ 均有 $S_{n + 1} \leq 4 a_{n}$ ，则 $q$ 的取值为.

查看试题解析
9. 函数 $y = 3^{x} + \frac{a}{3^{x} + 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 内单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析
10. 假如 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 项的系数是 $- 84$ ，则 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 二项展开式中系数最小的项是.

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = \cos (\frac{2 π x}{n})$ ( $x \in Z$ )的值域有6个实数组成，则非零整数 $n$ 的值是.

查看试题解析
12. 如图，已知 $P$ 是半径为2圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的一段圆弧 $A B$ 上的一点，若 $\vec{A B} = 2 \vec{B C}$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值域是.

查看试题解析

二、单选题

13. 如图， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ， $A B C D$ 为矩形，连接 $A C$ ､ $B D$ ､ $P B$ ､ $P C$ ､ $P D$ ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）

A、 $\vec{P C}$ 与 $\vec{B D}$ B、 $\vec{P B}$ 与 $\vec{D A}$ C、 $\vec{P D}$ 与 $\vec{A B}$ D、 $\vec{P A}$ 与 $\vec{C D}$

查看试题解析
14. 下列选项中， $y$ 可表示为 $x$ 的函数是（）

A、 $3^{| y |} - x^{2} = 0$ B、 $x = y^{\frac{2}{3}}$ C、 $\sin (\arcsin x) = \sin y$ D、 $\ln y = x^{2}$

查看试题解析
15. 已知 $x_{1}$ ､ $x_{2}$ ､ $y_{1}$ ､ $y_{2}$ 都是非零实数， ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} = (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ 成立的充要条件是（）

A、 $| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ x_{2} & x_{1} & 0 \\ 0 & \frac{1}{y_{2}} & \frac{1}{y_{1}} \end{matrix} | = 0$ B、 $| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ y_{1} & x_{1} & 0 \\ 0 & - y_{2} & x_{2} \end{matrix} | = 0$ C、 $| \begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ y_{1} & x_{1} & 0 \\ 0 & x_{2} & y_{2} \end{matrix} | = 0$ D、 $| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ x_{2} & x_{1} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{y_{1}} & \frac{1}{y_{2}} \end{matrix} | = 0$

查看试题解析
16. 设点 $A$ 的坐标为 $(a ， b)$ ， $O$ 是坐标原点，向量 $\vec{O A}$ 绕着 $O$ 点顺时针旋转 $θ$ 后得到 $\vec{O A^{'}}$ ，则 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(a \cos θ - b \sin θ ， a \sin θ + b \cos θ)$ B、 $(a \cos θ + b \sin θ ， b \cos θ - a \sin θ)$ C、 $(a \sin θ + b \cos θ ， a \cos θ - b \sin θ)$ D、 $(b \cos θ - a \sin θ ， b \sin θ + a \cos θ)$

查看试题解析

三、解答题

17. 已知 $M$ ､ $N$ 是正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B_{1} C_{1}$ ､ $C_{1} D_{1}$ 的中点，异面直线 $M N$ 与 $A B_{1}$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{10}}{10}$

(1)、求证： $M$ ､ $N$ ､ $B$ ､ $D$ 在同一平面上；

(2)、求二面角 $C - M N - C_{1}$ 的大小.

查看试题解析
18. 设函数 $f (x) = \lg (1 - \cos 2 x) + \cos (x + θ)$ ， $θ \in [0 ， \frac{π}{2})$

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、设 $θ > 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (\frac{π}{4} + x) - f (\frac{3 π}{4} - x) < 0$ .

查看试题解析
19. 假设在一个以米为单位的空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，平面 $x O y$ 内有一跟踪和控制飞行机器人 $T$ 的控制台 $A$ ， $A$ 的位置为 $(170 ， 200 ， 0)$ .上午10时07分测得飞行机器人 $T$ 在 $P (150 ， 80 ， 120)$ 处，并对飞行机器人 $T$ 发出指令：以速度 $v_{1} = 13$ 米/秒沿单位向量 $\vec{d_{1}} = (\frac{3}{13} ， \frac{12}{13} ， - \frac{4}{13})$ 作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达 $Q$ 点，再发出指令让机器人在 $Q$ 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到 $8$ 米/秒，然后保持 $8$ 米/秒，再沿单位向量 $\vec{d_{2}} = (\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{1}{2})$ 作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人 $T$ 最终落在平面 $x O y$ 内发出指令让它停止运动.机器人 $T$ 近似看成一个点.

(1)、求从 $P$ 点开始出发20秒后飞行机器人 $T$ 的位置；

(2)、求在整个飞行过程中飞行机器人 $T$ 与控制台 $A$ 的最近距离(精确到米).

查看试题解析
20. 曲线 $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{a} = 1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{a} = 1$ $(a > 0)$ 在第一象限的交点为 $A$ .曲线 $C$ 是 $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{a} = 1$ ( $1 \leq x \leq x_{A}$ )和 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{a} = 1$ ( $x \geq x_{A}$ )组成的封闭图形.曲线 $C$ 与 $x$ 轴的左交点为 $M$ ､右交点为 $N$ .

(1)、设曲线 $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{a} = 1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{a} = 1$ $(a > 0)$ 具有相同的一个焦点 $F$ ，求线段 $A F$ 的方程；

(2)、在（1）的条件下，曲线 $C$ 上存在多少个点 $S$ ，使得 $N S = N F$ ，请说明理由.

(3)、设过原点 $O$ 的直线 $l$ 与以 $D (t ， 0)$ $(t > 0)$ 为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为 $T$ .直线 $l$ 与曲线 $C$ 在第一象限的两个交点为 $P$ . $Q$ .当 $\frac{1}{{\vec{O P}}^{2}} + \frac{1}{{\vec{O Q}}^{2}} = {\vec{O T}}^{2}$ 对任意直线 $l$ 恒成立，求 $t$ 的值.

查看试题解析
21. 设数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + k \sin a_{n} (a_{n} > a_{n - 1}) \\ a_{n} + k \cos a_{n} (a_{n} < a_{n - 1}) \end{array}$ ， $a_{n + 1} \neq a_{n}$ ，设 $a_{1} = a$ ， $a_{2} = b$ .

(1)、设 $b = \frac{5 π}{6}$ ， $k = - π$ ，若数列的前四项 $a_{1}$ ､ $a_{2}$ ､ $a_{3}$ ､ $a_{4}$ 满足 $a_{1} a_{4} = a_{2} a_{3}$ ，求 $a$ ；

(2)、已知 $k > 0$ ， $n \geq 4$ ， $n \in N$ ，当 $a \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $b \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $a < b$ 时，判断数列 ${a_{n}}$ 是否能成等差数列，请说明理由；

(3)、设 $a = 4$ ， $b =7$ ， $k = 1$ ，求证：对一切的 $n \geq 1$ ， $n \in N$ ，均有 $a_{n} < \frac{7}{2} π$ .

查看试题解析