四川省凉山州2021届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | 2 x - 1 > 0}$ ， $B = {y | y = 2 x - 1, x \in R}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、（0，+∞） C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${a_{n}}$ 的前5项和为 $S_{5} = 20$ ， $a_{5} = 6$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、12

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3. 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 $8 = 3 + 5$ ．在不超过20的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于20的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{14}$ D、 $\frac{3}{28}$

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4. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 $C$ ，其长轴长为4，焦距为2，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，函数 $y = \log_{a} (2 x - 1) + 2$ 过定点 $(a_{1} ， a_{2})$ ， $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、44 B、45 C、46 D、50

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6. 命题 $p ：$ 实数 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 2 > 0 \\ x + 2 y - 3 < 0 \end{array}$ ，命题 $q ： x > y$ ，则命题 $p$ 是 $q$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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7. 高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”

(\frac{双 上 线 人 数}{总 分 上 线 人 数} \times 100 %)

和“学科有效分上线命中率”

(\frac{双 上 线 人 数}{单 上 线 人 数} \times 100 %)

这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（）（结果保留到小数点后一位有效数字）

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学成绩	120	117	122	101	100	112	99	111	102	100	89	98	92	84	94	113	97	104	85	85
总分成绩	495	494	493	485	483	483	482	480	479	475	471	470	463	457	454	453	448	448	441	440

A、41.7%，71.4% B、60%，71.4% C、41.7%，35% D、60%，35%

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (π - ω x) + \sin (ω x + \frac{π}{2}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $(π, 2 π)$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{8}]$ B、 $(0, \frac{1}{9}] \cup [\frac{5}{6}, \frac{6}{7}]$ C、 $(0, \frac{1}{9}]$ D、 $(0, \frac{3}{8}] \cup [\frac{3}{4}, \frac{7}{8}]$

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9. 已知函数 $f (x) = {(x - \frac{1}{2})}^{3} + 1$ ，则 $f (\frac{1}{2021}) + f (\frac{2}{2021}) + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2019}{2021}) + f (\frac{2020}{2021})$ 的值为（）

A、1 B、2 C、2020 D、2021

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10. 集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $y = f (x)$ 是 $A$ 到 $A$ 的函数，方程 $f (x) = f (f (x))$ 恰好有两个不同的根，且 $f (1) + (2) + f (3) + f (4) = 10$ ，则函数 $y = f (x) - x$ 的零点个数为（）

A、1 B、2 C、1或2 D、4

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11. $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆依次与双曲线的渐近线交于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点， $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ ，若直线 $M A$ ， $M C$ 的斜率之积为 $\frac{1}{2}$ ，则双曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 在 $△ ABC$ 中， $2 \sin^{2} A - 2 \sqrt{2} \cos A - 3 = 0$ ，若 $B < C$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $(m^{2} - 1) \tan^{2} B - 2 \tan B + m^{2} - 1 = 0$ ， $\sin 2 C + 1 = n^{2}$ ，则有（）

A、 $m < n$ B、 $m > n$ C、 $mn < 1$ D、 $mn > 2$

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二、填空题

13. 在 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为(用数字作答).

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14. 复数z满足 $| z + i | = 1$ ，且 $z + \bar{z} = 2$ ，则 $z =$ ．

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15. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $A (2, - 3)$ ， $B (- 3, 4)$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{O A} + \vec{O B}$ 上的投影为．

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16. 已知三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， ${AA}_{1} ⊥$ 面 $ABC$ ， $P$ 为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的一点（含边界），且 $△ ABC$ 为边长为2的等边三角形， ${AA}_{1} = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $AC$ 、 $BC$ 的中点，下列命题正确的有．

①若 $P$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点时，则过 $A$ 、 $P$ 、 $B$ 三点的平面截三棱柱表面的图形为等腰梯形；

②若 $P$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点时，三棱锥 $P - C_{1} MN$ 的体积 $V = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ；

③若 $P$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点时， $N P // A_{1} B$ ；

④若 $A P$ 与平面 $A B C$ 所成的角与 $P - B C - A$ 的二面角相等，则满足条件的 $P$ 的轨迹是椭圆的一部分．

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三、解答题

17. 为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛．为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下

2 \times 2

列联表：

	喜欢数学竞赛	不喜欢数学竞赛	合计
男生	70
女生		30
合计

已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6．

参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k	0.46	0.71	1.32	2.07	2.71	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、将

2 \times 2

列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？

(2)、从上述不喜欢数学竞赛的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的活动类型，用

X

表示3人中女生的人数，求

X

的分布列及数学期望．

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18. 如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，已知棱 $AB$ ， $AD$ ， $AP$ 两两垂直且长度分别为1，2，2，若 $\vec{DC} = λ \vec{AB} (λ \in R)$ ，且向量 $\vec{PC}$ 与 $\vec{BD}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ ．

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、求二面角 $C - P B - D$ 的正弦值．

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19. 如图在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $\sqrt{3} (a \sin A + c \sin C - b \sin B) = 2 a \sin B \sin C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若在线段 $A C$ 上存在一点 $D$ ，使得 $B D = 2$ ， $E$ 为 $B D$ 延长线上一点， $C E ⊥ B E$ ， $C D = \sqrt{3} - 1$ ， $C E = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过 $C$ 的焦点 $F$ 的直线 $l_{1}$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点，当 $l_{1} ⊥ x$ 轴时， $| A B | = 4$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、如图，过点 $F$ 的另一条直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，设 $l_{1} ， l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = 0 (k_{1} > 0)$ ，且 $3 S_{△ A M F} = S_{△ B M N}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + {ax}^{2}$ ， $g (x) = e^{ax} \ln x + ax$ ．

(1)、讨论函数 $h (x) = f (x) + (a + 2) x$ 的单调区间；

(2)、是否存在正数 $a$ 使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - g (x) = 0$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上恰有两个不等实数根？如果有，求出 $a$ 的取值范围；如果没有，请说明理由．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1} : {\begin{array}{l} x = \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数， $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{8}{5 - 3 \cos 2 θ} (0 < θ < π)$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、在直角坐标系xOy中，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线过点 $(0, - 1)$ ，分别与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 交于A，B两点，求 $| A B |$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x - 1 | + 3 | x - 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、已知 $f {(x)}_{\min} = a + 3 b + 5 c$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为正实数），求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值．

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