陕西省榆林市2021届高三下学期文数第四次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 1) (x - 2) \leq 0}$ ， $B = {2}$ ，则（）

A、 $A \cap B = B$ B、 $A \cup B = B$ C、 $A \cap (C_{R} B) = [- 1, 2]$ D、 $(C_{R} A) \cup B = R$

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2. 若函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6})$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω =$ （）

A、1 B、±1 C、2 D、±2

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{D B} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ C、 $\frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$

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4. 若 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 2 \\ x + y \leq 3 \\ 3 x + 2 y \geq 6 \end{array}$ ，则 $x - y$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 设函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \lg (3 x + 1) - 1$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(- 3, 3)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$

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6. 某盒子里有若干个蓝色球、紫色球和黑色球，已知从盒中一次性取出3个球都是蓝色球的概率是 $\frac{1}{165}$ ，取出3个球都是紫色球的概率是 $\frac{4}{165}$ ，取出3个球都是黑色球的概率是 $\frac{4}{165}$ ，若从盒中任意取出3个球，则这3个球的颜色不全相同的概率是（）

A、 $\frac{3}{55}$ B、 $\frac{52}{55}$ C、 $\frac{3}{11}$ D、 $\frac{8}{11}$

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7. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升到16000，则C大约增加了(附： $\lg 2 \approx 0.3$ )（）

A、21% B、32% C、43% D、54%

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $i =$ （）

A、10 B、15 C、20 D、25

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9. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若 $A_{1} C //$ 平面 $B C_{1} D$ ，则 $D$ 为（）．

A、棱 $A B$ 的中点 B、棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点 C、棱 $B C$ 的中点 D、棱 $A A_{1}$ 的中点

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10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2021项小石子数是（）

A、5×1010×2021 B、5×1010×1011 C、5×1011×2021 D、5×1011×2020

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11. 设函数 $f (x) = x \cos x$ 的一个极值点为 $m$ ，则 $\tan (m + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{m - 1}{m + 1}$ B、 $\frac{m + 1}{m - 1}$ C、 $\frac{1 - m}{m + 1}$ D、 $\frac{m + 1}{1 - m}$

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12. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作直线与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，与抛物线的准线交于点 $P$ ，且 $\vec{A P} = 2 \vec{A F}$ ， $| B F | = 2$ ，则 $p =$ （）

A、3 B、2 C、4 D、6

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二、填空题

13. 复数 $z = (1 - 2 i) (1 - 5 i)$ 的实部为.

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14. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{35} = 1$ 的离心率为.

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $(n + 1) a_{n + 1} = 2 n a_{n}$ ，则 $a_{n} =$ .

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16. 如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面直径为 $4 \sqrt{3}$ ，高为8，铁桶盖的最大张角为 $60^{\circ}$ ，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大表面积为.

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三、解答题

17. 为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录学生们一分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出如图所示的频率分布直方图，跳绳个数落在区间

[95 ， 105)

，

[105 ， 115)

，

[115 ， 125]

内的频数之比为

4 ： 2 ： 1

.若规定某学生一分钟内的跳绳个数大于或等于105个，则成绩优秀；否则，成绩为非优秀.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635	10.828

(1)、求这些学生中成绩优秀的人数；

(2)、已知这

100

名小学生中女生占

\frac{3}{5}

，且成绩优秀的女生有10人，请根据以上调查结果将下面的

2 \times 2

列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为成绩“优秀”与性别有关.

	成绩“优秀”	成绩“非优秀”	总计
男生
女生
总计

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18. $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $a = \sqrt{3}, b = 2$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{6}$ ，求 $\cos 2 B$ ；

(2)、当A取得最大值时，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，以 $B C$ 为直径的圆 $O$ （ $O$ 为圆心）过点 $A$ ，且 $A O = A C = A P = 2$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $O A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求四棱锥 $M - A O C D$ 的侧面积．

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20. 已知函数 $f (x) = (x^{3} - \frac{4}{3} x^{2}) e^{x}$ 的定义域为 $[- 1 ， + \infty)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的零点个数

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2$ ， $| A B | = 4$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、过 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点（均不与 $A$ ， $B$ 重合），直线 $M B$ 与直线 $x = 4$ 交于 $G$ 点，证明： $A$ ， $N$ ， $G$ 三点共线.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的方程为 $x = - \sqrt{- y^{2} + 2 y + 3}$ ．

(1)、写出曲线 $C$ 的一个参数方程；

(2)、若 $A (1 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ，点 $P$ 为曲线 $C$ 上的动点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + 2 \vec{O A} \cdot \vec{O P}$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x + b |$ .

(1)、若 $a = b^{2} + 3 b + 2$ ，证明： $\forall x \in R, b \in R, f (x) ⩾ 1$ .

(2)、若关于x的不等式 $f (x) ⩽ 7$ 的解集为 $[- 6, 1]$ ，求a，b的一组值，并说明你的理由.

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