宁夏中卫市2021届高三文数三模试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x \leq 1}$ ， $B = {- 2, - 1, 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${- 2, - 1, 0}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 + 3 i}{i}$ ，其中i为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、2

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3. 命题“若 $a^{2} + b^{2} = 0$ 则 $a = 0$ 且b=0”的否定是（）

A、若 $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ，则 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$ B、若 $a^{2} + b^{2} = 0$ ，则 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$ C、若 $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ，则 $a \neq 0$ 或 $b \neq 0$ D、若 $a^{2} + b^{2} = 0$ ，则 $a \neq 0$ 或 $b \neq 0$

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4. 若向量 $\vec{B A} = (5, 6)$ ， $\vec{C A} = (2, 3)$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $(- 3, - 3)$ B、 $(7, 9)$ C、 $(3, 3)$ D、 $(- 6, - 10)$

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5. 已知角 $θ$ 终边经过点 $P (\sqrt{2}, a)$ ，若 $θ = - \frac{π}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $- \sqrt{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 某小区人数约30000人，创城期间，需对小区居民进行分层抽样调查，样本中有幼龄120人，青壮龄330人，老龄150人，则该小区老龄人数的估计值为（）

A、3300 B、4500 C、6000 D、7500

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7. 刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π ，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4 π}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2 π}$ C、 $\frac{1}{2 π}$ D、 $\frac{1}{4 π}$

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8. 执行下面的程序框图，如果输入 $a = 1$ ， $b = 1$ ，则输出的 $S =$ （）

A、7 B、20 C、22 D、54

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9. 已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，过,（1，2）的该圆的所有弦中，最短弦的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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10. 函数 $f (x) = \ln (x - \frac{1}{x})$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 是坐标原点，过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ .若 $| P F_{1} | = \sqrt{13} | P F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{z}} + 2 k ln x - k x$ ，若 $x = 2$ 是函数 $f （ x ）$ 的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{e^{2}}{4}]$ B、 $(- \infty, \frac{e}{2}]$ C、 $(0, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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二、填空题

13. $\lg 5 - \lg \frac{1}{2} + 3^{\log_{3} 5} =$ .

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14. 若点P（x ， y）在直线l：x+2y﹣3＝0上运动，则x²+y²的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 1 ， x \leq 0 \\ 3^{x} + m ， x > 0 \end{array}$ 在R上存在最小值，则m的取值范围是.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{2}$ ， $A B = A C = 2$ ，有下述四个结论：
①若 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

②若 $P$ 为 $B C$ 边上的一个动点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 为定值2

③若 $M$ ， $N$ 为 $B C$ 边上的两个动点，且 $M N = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$

④已知 $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，若 $B P = 1$ ，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + \sqrt{3} μ$ 的最大值为2

其中所有正确结论的编号是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $S_{3} = 2 a_{3} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} \cdot a_{n + 1})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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18. 某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在

[50 ， 100]

内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．

百分制	85分及以上	70分到84分	60分到69分	60分以下
等级	A	B	C	D

规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示

(1)、求n，x，y的值；

(2)、根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；

(3)、在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．

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19. 如图，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段 $A A_{1}$ 是该半圆柱的一条母线，点 $D$ 为线 $A A_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A B ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、若 $A B = A C = 1$ ，且点 $B_{1}$ 到平面 $B C_{1} D$ 的距离为1，求线段 $B B_{1}$ 的长．

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20. 如图，已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点 $A (- 2 ， 0)$ ，且点 $(- 1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆上， $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别是椭圆的左､右焦点.过 $A$ 作斜率为 $k (k > 0)$ 的直线交椭圆 $E$ 于另一点 $B$ ，直线 $B F_{2}$ 交椭圆 $E$ 于点 $C$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若点 $B$ 的横坐标为 $\frac{8}{5}$ ，求 $△ A F_{2} B$ 与 $△ C F_{1} F_{2}$ 面积的比值；

(3)、若 $F_{1} C ⊥ A B$ ，求 $k$ 的值.

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21. 设函数 $f (x) = a x (\ln x - 3) + b (4 x^{2} + 2 x + 1)$ $(a ， b \in R)$ ，已知 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线与直线 $x + 4 e y - 12 = 0$ 垂直.

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(a - b ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若不等式 $2 m^{2} - 3 m \geq | f (x) | + \frac{3}{2}$ 在 $(0 ， 1)$ 上恒成立，求m的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 + \sin φ - 2 \cos φ \\ y = \cos φ + 2 \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），以坐标原点O为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \cos θ + 2 = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程并判断 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的位置关系；

(2)、设直线 $θ = α (- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}, ρ \in R)$ 分别与曲线 C₁交于A ， B两点，与 $C_{2}$ 交于点P ，若 $| A B | = 3 | O A |$ ，求 $| O P |$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = | 1 - 2 x | - 3 | x + 1 |$ 的最大值为M.

(1)、求M；

(2)、若正数a ， b满足 $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} = M a b$ ，请问：是否存在正数a ， b ，使得 $a^{6} + b^{6} = \sqrt{a b}$ ，并说明理由.

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