江西省2021届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2021-05-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x ∣ y = \log_{2} (x - 1)}, B = {x ∣ x - a > 0}$ ，且 $(∁_{R} A) \cap B = (0, 1]$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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2. 已知 $m, n \in R$ ，且 $m i (1 + 2 i) = n + 4 i$ (其中 $i$ 为虚数单位)，则 $m + n =$ （）

A、-2 B、-4 C、2 D、4

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3. 某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、π

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4. 已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，若点 $A (x_{0}, 2 \sqrt{3})$ 在抛物线上，则 $| A F | =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3} + 1$

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5. 根据下面给出的某地区2014年至2020年环境基础设施投资额(单位：亿元)的表格，以下结论中错误的是（）

年份	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
投资额/亿元	47	53	56	62	122	140	156

A、该地区环境基础设施投资额逐年增加 B、2018年该地区环境基础设施投资增加额最大 C、2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额比2014年至2017年的投资总额小 D、2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少

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6. 函数 $f (x) = \frac{5^{x} - 1}{5^{x} + 1} \cos 2 x$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知定义在R上的函数f(x)，则" $f (x)$ 的周期为2"是" $f (x) = \frac{1}{f (x + 1)}$ "的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. ${(x + 2 y + 3 z)}^{5}$ 的展开式中 $x y^{2} z^{2}$ 的系数为（）

A、5 B、30 C、1080 D、2160

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9. 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 $\sqrt{2} ， \sqrt{3} ， \sqrt{5}$ ，…的图形之一，此图形中 $∠ B A D$ 的余弦值是（）

A、 $\frac{4 - \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{4 + \sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{6}$

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10. 已知动直线 $l : x \cos α + y \sin α = 1$ 与圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 2$ 相交于A，B两点，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 1.$ 下列说法：① $l$ 与 $C_{2}$ 有且只有一个公共点；②线段AB的长度为定值；③线段AB的中点轨迹为 $C_{2}$ .其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 定义：若存在n个正数 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ ，使得 $f (- x_{i}) = - f (x_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“n阶奇性函数”.若函数 $g (x) = {\begin{array}{l} m x + m ， x ⩽ 0 \\ x \ln x ， x > 0 \end{array}$ 是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， \frac{π}{2} < φ < π)$ 的一个周期的图象如图所示，其中 $f (0) = 1 ， f (1) = 0. f (x_{1}) = f (x_{2}) = - \frac{1}{2}$ ，则 $f (x_{2} - x_{1} - 2) =$ （）

A、 $- \frac{7}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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二、填空题

13. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} | = | 2 \vec{a} - 3 \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 5 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{y}{x}$ 的最大值是.

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15. 已知F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH(点H为垂足)，并交双曲线的右支于点A，若A为线段FH的中点，则双曲线的离心率为.

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16. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，所有棱长均为a，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ D A B = 60^{\circ}$ ，点E在楼 $A_{1} D_{1}$ 上，且 $A_{1} E = 2 E D_{1}$ ，平面α过点E且平行于平面 $A_{1} D B$ ，则平面α与平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各表面交线围成的多边形的面积是.

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三、解答题

17. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + 2, a_{3}^{2} = S_{1} S_{5}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，已知四边形ABCD是菱形， $∠ B A D = 60^{\circ} ， A B = 2$ ，四边形BDEF是平行四边形， $∠ D B F = 45^{\circ} ， B F = 2 \sqrt{2} ， F A = F C$

(1)、求证： $F D ⊥$ 平面ABCD；

(2)、求二面角A-DE-B的余弦值.

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19. 在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩(单位：环)，并把所得数据制成了如下所示的频数分布表；

成绩分组	[4，5)	[5，6)	[6，7)	[7，8)	[8，9)	[9，10]
频数	5	18	28	26	17	6

[附：若 $Z \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6827, P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $\sqrt{1.61} \approx 1.27$ ，结果取整数部分]

(1)、求抽取的样本平均数

\bar{x}

(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)、已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布

N (μ, σ^{2})

(其中

μ

近似为样本平均数

\bar{x}, σ^{2}

近似为样本方差

s^{2} = 1.61

)，且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人？

(3)、已知样本中成绩在[9，10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为

ξ,

，求

ξ

的分布列与期望

E ξ

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20. 如图，已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线 $l$ 过点B且垂直于x轴，直线AP与 $l$ 交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为 $π$ .

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为 $S_{1}$ ，△BQR的面积为 $S_{2}$ ，试判断 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x + b \cos x$ .

(1)、当b=0时，讨论函数f(x)极值点的个数；

(2)、当 $b = - 2 ， x ⩾ 0$ 时，都有 $f (x) ⩾ 2 e^{x} - 4$ ，求实数a的取值范围.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = \sqrt{3} - \sqrt{3} t \end{array}$ (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 4 \cos θ$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (1, \sqrt{3})$ ，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于A，B两点，求 $| \frac{| P A | \cdot | P B |}{| P A | - | P B |} |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - \frac{1}{a} | (a > 0)$ .

(1)、求证： $f (x) ⩾ 2$ ；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x) ⩾ - x^{2} + 4 x + m$ 恒成立，求m的取值范围.

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