湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题2方程与方程组（1）

试卷更新日期：2021-05-17 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，若设小瓶单价为x角，大瓶为y角，可列方程为（）

A、 ${\begin{cases} 3 x + y = 98 \\ y - 3 x = 2 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 3 x + y = 98 \\ y + 3 x = 2 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 2 x + y = 98 \\ y - 3 x = 4 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 3 x - y = 98 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$

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2. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{matrix}$ ，其中 $- 3 \leq a \leq 1$ ，给出下列结论：① ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = - 1 \end{matrix}$ 是方程的解；②当 $a = - 2$ 时， $x$ ， $y$ 的值互为相反数；③当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 4 - a$ 的解；④若 $x \leq 1$ ，则 $1 \leq y \leq 4$ ．其中正确的是（）．

A、①② B、②③ C、②③④ D、①③④

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3. 雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共 1500 顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人，设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是( )

A、x+4y=1500，4x+y=8000 B、x+4y=1500，6x+y=8000 C、x+y=1500，4x+6y=8000 D、x+y=1500，6x+4y=8000

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4. 对于一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b²﹣4ac≥0；②若方程ax²+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax²+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x₀是一元二次方程ax²+bx+c＝0的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ；其中正确的（）

A、只有①② B、只有①②④ C、①②③④ D、只有①②③

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5. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6 x + (a - 2) | x - 3 | + 9 - 2 a = 0$ 有且仅有两个不相等的实根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a = - 2$ B、 $a > 0$ C、 $a = - 2$ 或a>0 D、 $a \leq - 2$ 或a>0

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6. 已知mn≠1，且5m²+2010m+9=0，9n²+2010n+5=0，则 $\frac{m}{n}$ 的值为（）

A、﹣402 B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{670}{3}$

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7. 小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 $\frac{1}{3}$ .( - $\frac{x - 1}{2}$ ＋x)＝1－ $\frac{x - △}{5}$ ，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}= $\frac{2 x + 1}{x}$ 的解为（　　）

A、1- $\sqrt{2}$ B、2- $\sqrt{2}$ C、1+ $\sqrt{2}$ 或1- $\sqrt{2}$ D、1+ $\sqrt{2}$ 或﹣1

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二、填空题

9. 若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则 $\frac{5 x^{2} + 2 y^{2} - z^{2}}{2 x^{2} - 3 y^{2} - 10 z^{2}}$ 的值等于．

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10. 我市某重点中学校团委、学生会发出倡议，在初中各年级捐款购买书籍送给我市贫困地区的学校．初一年级利用捐款买甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元；初二年级买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元，其中A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同．若甲、乙两种书的单价之和为121元，则初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献了本书．

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11. 某公园“六·一”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣．张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动．王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备元钱买门票．

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12. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为元.

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13. △ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x²-8x+15=0的根，则△ABC的周长是．

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三、计算题

14. 求下列二元一次方程的整数解．

(1)、5x+10y=20；

(2)、3x-4y=7；

(3)、4x+7y=8；

(4)、13x+30y=4．

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15. $\{\begin{matrix} x + 2 y + 3 z = 15 \\ \frac{x + 4 z}{3} = \frac{y - 3 z}{4} = 3 \end{matrix}$

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16. ${\begin{matrix} 2002 x + 2003 y = 6007 \\ 2003 x + 2002 y = 6008 \end{matrix}$

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17. 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ ）﹣（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ﹣ $\frac{1}{5}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ ）．
令 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ =t，则
原式=（1﹣t）（t+ $\frac{1}{5}$ ）﹣（1﹣t﹣ $\frac{1}{5}$ ）t
=t+ $\frac{1}{5}$ ﹣t²﹣ $\frac{1}{5}$ t﹣ $\frac{4}{5}$ t+t²
= $\frac{1}{5}$
问题：

(1)、计算
（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ﹣…﹣ $\frac{1}{2014}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ +…+ $\frac{1}{2014}$ + $\frac{1}{2015}$ ）﹣（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ﹣ $\frac{1}{5}$ ﹣…﹣ $\frac{1}{2014}$ ﹣ $\frac{1}{2015}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{2014}$ ）；

(2)、解方程（x²+5x+1）（x²+5x+7）=7．

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18. 已知关于x的方程 $\frac{x^{2} + 4}{x (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} = \frac{a}{x}$ 无解,求a的值.

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四、解答题

19. 经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．

(1)、填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是吨.

(2)、该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？

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20. 某人把500圆存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是275元，求这种存款的年利率（不计利息税）

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21. 如图，在长为20cm，宽为16cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得剩下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长.

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22. 说明：从(A)，(B)两题中任选一题作答.
春节前夕，便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能售出240件.销售一段时间后发现：如果每件涨价1元，那么每天就少售出20件；如果每件降价1元，那么每天能多售出40件.
(A)在降价的情况下，要使该商品每天的销售盈利为1800元，每件应降价多少元？
(B)为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件应定价为多少元？
我选择： ▲

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23. 甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行。甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进。两车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回。当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地的距离。

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五、综合题

24. 随着网购的日益盛行，物流行业已逐渐成为运输业的主力，已知某大型物流公司有A、B两种型号的货车，A型货车的满载量是B型货车满载量的2倍多4吨，在两车满载的情况下，用A型货车载1400吨货物与用B型货车载560吨货物的用车数量相同．

(1)、1辆A型货车和1辆B型货车的满载量分别是多少？

(2)、该物流公司现有120吨货物，可以选择上述两种货车运送，在满载的情况下，有几种方案可以一次性运完？

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25. 我市某西瓜产地组织40辆汽车装运完A，B，C三种西瓜共200吨到外地销售．按计划，40辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种西瓜，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：

西瓜种类	A	B	C
每辆汽车运载量（吨）	4	5	6
每吨西瓜获利（百元）	16	10	12

(1)、设装运A种西瓜的车辆数为x辆，装运B种西瓜的车辆数为y辆，求y与x的函数关系式；

(2)、如果装运每种西瓜的车辆数都不少于10辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；

(3)、若要使此次销售获利达到预期利润25万元，应采取怎样的车辆安排方案？

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26. 某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．

(1)、求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？

(2)、根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？

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27. 姐妹两人在50米的跑道上进行短路比赛，两人从出发点同时起跑，姐姐到达终点时，妹妹离终点还差3米，已知姐妹两人的平均速度分别为a米/秒、b米/秒．

(1)、如果两人重新开始比赛，姐姐从起点向后退3米，姐妹同时起跑，两人能否同时到达终点?若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．

(2)、如果两人想同时到达终点，应如何安排两人的起跑位置?请你设计两种方案．

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28. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

(1)、若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　斤。（用含x的代数式表示）

(2)、销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

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