河南省鹤壁市2021届高三文数一模试卷

试卷更新日期：2021-05-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 3 x^{2} - 4 x - 4 < 0}$ ， $N = {y | | y - 1 | \leq 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[0, 2)$ B、 $(- \frac{2}{3}, 0]$ C、 $[1, 2]$ D、 $\emptyset$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i} + 1$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知 $a = \sqrt[3]{2}$ ， $b = \log_{\frac{3}{2}} \frac{3}{4}$ ， $c = {(\frac{2}{3})}^{4}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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4. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} a_{m} = a_{6} a_{n}$ ， $a_{m}^{2} = a_{6} a_{10}$ ，则 $m + n =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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5. 函数 $y = \sin x \cdot \ln | x |$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某学校决定从该校的2000名高一学生中采用系统抽样（等距）的方法抽取50名学生进行体质分析，现将2000名学生从1至2000编号，已知样本中第一个编号为7，则抽取的第26个学生的编号为（）

A、997 B、1007 C、1047 D、1087

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7. 已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，则 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{| \vec{a} |}^{2}}$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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8. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x + 2 y - 4 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \leq 0 \\ 3 x + y + 3 \geq 0 \end{cases}$ ，则 $z = a x + y$ ( $a$ 为常数，且 $1 < a < 3$ )的最大值为（）

A、-a B、2a C、 $- 2 a + 3$ D、2

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9. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过右顶点 $A (a, 0)$ 的直线与右支交于不同于点A的另一点P ，若 $3 \vec{P A} = \vec{P F_{1}} + 2 \vec{P F_{2}}$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、4

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10. 已知曲线 $y = \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}$ 与直线 $k x - y + k - 1 = 0$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ B、 $(0 ， \frac{3}{4})$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{2}{3})$

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11. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调，且在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上存在极值点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， 2]$ B、 $(\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{7}{6}]$ D、 $(0 ， \frac{7}{6}]$

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12. 在棱长为2的正四面体 $A B C D$ 中，点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一动点，且满足 $| \vec{P A} | + | \vec{P B} | = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则PD的最大值为（）

A、3 B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{39}}{3}$ D、2

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + 2) e^{x}$ ，若 $f (x)$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与直线 $4 x - y + 3 = 0$ 平行，则 $a =$ ．

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14. 一个球的表面积为 $100 π$ ，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则球心到这个平面的距离为.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3} B C$ ，分别以点A，B为圆心，以 $B C$ 的长度为半径在该矩形内作四分之一圆．若在矩形 $A B C D$ 中随机取一点M ，则点M与A，B的距离均小于 $B C$ 长度的概率为．

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16. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{6} = 0$ ， $a_{7} = 7$ ，若 $\frac{a_{m} a_{m + 1}}{a_{m + 2}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的项，则 $m =$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知 $b \sin C + a \sin A = b \sin B + c \sin C$ ．
（I）求A；

（Ⅱ）设D是线段 $B C$ 的中点，若 $c = 2$ ， $A D = \sqrt{13}$ ，求a ．

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18. 某城市实行生活垃圾分类，将垃圾分为可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，其中可回收垃圾和厨余垃圾都有利用价值．某垃圾中转站一天处理了200吨垃圾，经统计，各类垃圾的重量如下表所示：

类别	可回收垃圾	厨余垃圾	有害垃圾	其他垃圾
重量（吨）	54	110	4	32

（I）分别估计该城市的生活垃圾中有害垃圾、有利用价值的垃圾的比例；

（Ⅱ）根据核算，各类垃圾的处理费用和经济效益的数据如下表所示：

类别	处理费用	经济效益
可回收垃圾	160元/吨	150元/吨
厨余垃圾	300元/吨	340元/吨
有害垃圾	1000元/吨	0
其他垃圾	50元/吨	0

已知该城市一天产生的生活垃圾约2000吨，在实行生活垃圾分类以前，所有的垃圾都按照“其他垃圾”的方式进行处理，请你估计该城市实行生活垃圾分类以后，每天垃圾处理的综合成本（处理费用-经济效益）能节省多少．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $△ P B C$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形， $B D = P D$ ．

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、设E是 $B P$ 的中点，求点B到平面 $D A E$ 的距离．

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20. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x$ ， $g (x) = x e^{x} - a$ .
（Ⅰ）若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $a = 1$ ，证明 $f (x) \leq g (x)$ ．

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21. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $△ A O B$ (点 $O$ 为坐标原点)的面积为2.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $E (0, a) (a > 0)$ 的两直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的倾斜角互补，直线 $l_{1}$ 与抛物线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，直线 $l_{2}$ 与抛物线 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $△ F M N$ 与 $△ F P Q$ 的面积相等，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos φ \\ y = \sin φ \end{array}$ ，( $φ$ 为参数)，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ ，( $t$ 为参数， $0 \leq α \leq π$ ).

(1)、若曲线 $C$ 与 $y$ 轴负半轴的交点在直线 $l$ 上，求 $α$ ；

(2)、若 $tan α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 等，求曲线 $C$ 上与直线 $l$ 距离最大的点的坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | 2 x - 5 | - 7$ .

(1)、在如图所示的网格中画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、若当 $x < 1$ 时､ $f (x) > f (x + a)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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