贵州省贵阳市2021届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2021-05-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ y = \sqrt{x - 1}}, B = {x \in N ∣ \ln x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${1, 2}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别为 $- 1 + 2 i,$ $3 - i,$ $1 - 2 i$ （i为虚数单位），则点D对应的复数为（）

A、 $5 - 5 i$ B、 $1 - i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $- 3 + i$

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3. 在空间中，下列命题是真命题的是（）

A、经过三个点有且只有一个平面 B、平行于同一平面的两直线相互平行 C、如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D、如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ 在双曲线的渐近线上， $△ O A F$ 是边长为 $2$ 的等边三角形（ $O$ 为原点），则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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5. 对于函数

y = f (x)

，部分x与y的对应关系如下表：

x	…	1	2	3	4	5	6	7	8	9	…
y	…	3	7	5	9	6	1	8	2	4	…

数列 ${x_{n}}$ 满足： $x_{1} = 1$ ，且对于任意 $n \in N^{*}$ ，点 $(x_{n}, x_{n + 1})$ 都在函数 $y = f (x)$ 的图象上，则 $x_{1} + x_{2} + \dots . + x_{2021} =$ （）

A、7576 B、7575 C、7569 D、7564

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6. 如图，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = π^{2}$ 内的正弦曲线 $y = \sin x$ 与 $x$ 轴围成的区域记为 $M$ （图中阴影部分），随机往圆 $O$ 内投一个点 $A$ ，则点 $A$ 落在区域 $M$ 内的概率是（）

A、 $\frac{4}{π^{3}}$ B、 $\frac{4}{π^{2}}$ C、 $\frac{2}{π^{2}}$ D、 $\frac{2}{π^{3}}$

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7. 设函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ 是定义在R上的奇函数，且 $F (x) = f (x) + 3^{x}$ ，若 $f (1) = 1$ ，则 $F (- 1) =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} = 6$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为 $2 ： 3$ ，则 $m =$ （）

A、40 B、50 C、34 D、32

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10. 已知在 $△ A B C$ 中， $A C = 8, B C = 10, 32 \cos (A - B) = 31$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $15 \sqrt{7}$ B、40 C、 $20 \sqrt{3}$ D、20

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11. 已知圆 $C$ 的方程 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一点，过 $P$ 作圆的两条切线，切点为 $A$ ， $B$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $[2 \sqrt{2} - 3 ， + \infty)$ C、 $[2 \sqrt{2} - 3 ， \frac{56}{9}]$ D、 $[\frac{3}{2} ， \frac{56}{9}]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x \ln x ， x > 0 \\ x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $x_{1} \neq x_{2}$ 且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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二、填空题

13. 点 $P_{0} (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ 为锐角 $α$ 的终边与单位圆的交点， $O P_{0}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 的横坐标为.

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14. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - 2 y ⩽ 1 - 2 m \\ 2 x + y ⩾ 2 + m \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - m)}^{2} ⩽ 1 \end{array}$ ，则对任意实数m，由不等式组确定的可行域的面积是．

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15. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ ， $F (x) = f (x) + \frac{\sqrt{3}}{2} f^{'} (x)$ 为奇函数，则下述四个结论：
① $\tan φ = \sqrt{3}$ ；

②若 $f (x)$ 在 $[- a ， a]$ 上存在零点，则 $a$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$ ；

③ $F (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增；

④ $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 有且仅有一个极大值点．

其中正确的是．

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16. 四棱锥 $P - A B C D$ 各顶点都在球心为 $O$ 的球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A B = 2$ ， $A D = 4$ ，则球 $O$ 的体积是；设 $E$ 、 $F$ 分别是 $P B$ 、 $B C$ 中点，则平面 $A E F$ 被球 $O$ 所截得的截面面积为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且满足 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 2, b_{n} = a_{n} - n^{2} (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，并求 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、求数列 ${2^{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和．

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18. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥ A D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，点 $E 、 F$ 分别为棱 $B C 、 P D$ 的中点.

(1)、证明： $C F / /$ 平面 $P A E$ ；

(2)、若 $B F ⊥ A C ， P D = 2$ ，求点C到平面 $P A B$ 的距离.

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19. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下图资料：

日期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
昼夜温差 $x (° C)$	10	11	13	12	8	6
就诊人数y(个)	22	25	29	26	16	12

该兴趣小组的研究方案是先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据检验.

附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求选取的2组数据恰好相邻的概率；

(2)、若选取的是1月与6月的两组数据，请根据

2 、 3 、 4 、 5

月份的数据，求出y关于x的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(3)、若线性回归方程得出的估计数据与所选出的检验数据误差的绝对值都不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的.试问该小组由（2）中得到的线性回归方程是否理想？

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20. 已知定点 $A (0, - 1), B (0, 1)$ ，曲线l上的任一点M都有 $\vec{A M} \cdot \vec{A B} = | \vec{M B} | \cdot | \vec{A B} |$ ．

(1)、求曲线l的方程；

(2)、点 $Q (- 2, - 2)$ ，动直线 $l$ 与曲线L交于 $C, D$ ，与y轴交于点N，设直线 $C Q, D Q, N Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ．若 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = \frac{2}{k_{3}}$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点，并求出定点坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x ， g (x) = x - 1$ ．

(1)、求 $F (x) = g (x) - f (x)$ 的单调区间和最值；

(2)、证明：对大于1的任意自然数n，都有 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} < \ln n$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ (t为参数， $α$ 为直线的倾斜角).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ \sin θ \cdot \tan θ = 4$ .

(1)、写出曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知点 $A (1, 0)$ ，直线 $l$ 与曲线C交于 $M, N$ 两点，求证： $| A M | + | A N | = | A M | \cdot | A N |$ .

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23. 已知 $a, b, c$ 是正实数.

(1)、证明： $a + b + c ⩾ \sqrt{a b} + \sqrt{b c} + \sqrt{a c}$ ；

(2)、若 $a + b + c = 2$ ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ⩾ \frac{9}{2}$ .

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