福建省南平市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-05-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {2, 3, 4}$ ，集合 $B = {x ∣ x^{2} - 3 x + m = 0}$ ．若 $A \cap B = {2}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${1, - 2}$ B、 ${1, 0}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 3}$

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2. 复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z}}{z} = i$ ，则复平面上表示复数 $z$ 的点位于（）

A、第一或第三象限 B、第二或第四象限 C、实轴 D、虚轴

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3. 函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}} \cdot \cos x$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六角、八角等结构，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的屋顶轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 $2 α$ ，则该正六棱锥底面内切圆半径与侧棱长之比为（）

A、 $\sqrt{3} \sin α$ B、 $\sqrt{3} \cos α$ C、 $2 \sin α$ D、 $2 \cos α$

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5. 克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献． $5 G$ 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率 $C$ 取决于信道带宽 $W$ 、信道内信号的平均功率 $S$ 、信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至4000，则 $C$ 大约增加（）

A、10% B、20% C、30% D、50%

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6. 过点 $P (2, 1)$ 的直线 $l$ 与函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{O P} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、5 D、10

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7. 某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，

A

品牌设备需投入60万元，

B

品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：

$A$ 品牌的使用年限	2	3	4	5
概率	0.4	0.3	0.2	0.1
$B$ 品牌的使用年限	2	3	4	5
概率	0.1	0.3	0.4	0.2

更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析（）

A、不更换设备 B、更换为A设备 C、更换为B设备 D、更换为A或B设备均可

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8. 设函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < a x - 1$ 有且仅有两个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， e^{2}]$ B、 $(1 ， \frac{e^{2}}{2}]$ C、 $(1 ， \frac{e^{2} + 1}{2}]$ D、 $(\frac{e^{2} + 1}{2} ， \frac{2 e^{3} + 1}{3}]$

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二、多选题

9. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{s + t} - \frac{y^{2}}{s - t} = 1$ 的左、右焦点，且 $| F_{1} F_{2} | = 8$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $s = 8$ B、 $t$ 的取值范围是 $(- 8, 8)$ C、 $F_{1}$ 到渐近线的距离随着 $t$ 的增大而减小 D、当 $t = 4$ 时， $C$ 的实轴长是虚轴长的3倍

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a^{2} + b^{2} - a b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \sqrt{2}$ B、 $a b \leq 2$ C、 $a + b \leq 2 \sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 4$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ 与函数 $g (x) = \cos (2 x + θ)$ 有相同的对称中心，则下列结论正确的是（）

A、若方程 $m = f (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 上有两个不同的实数根，则 $m$ 取值范围是 $[\frac{1}{2} ， 1)$ B、将函数 $| f (x) |$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，会与函数 $| g (x) |$ 的图象重合 C、函数 $f (x)$ 的所有零点的集合为 ${x ∣ x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{6} ， k \in Z}$ D、若函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减，则 $θ = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ ， $k \in Z$

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12. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成大小为 $θ (θ \in (0 ° ， 180 °))$ 的二面角 $B - A C - D$ ，四面体 $A B C D$ 内接于球 $O$ ，下列说法正确的是（）

A、四面体 $A B C D$ 的体积的最大值是1 B、无论 $θ$ 为何值，都有 $A B ⊥ D C$ C、四面体 $A B C D$ 的表面积的最大值是 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、当 $θ = 60 °$ 时，球 $O$ 的体积为 $\frac{52 \sqrt{13} π}{81}$

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三、填空题

13. 请写出与曲线 $f (x) = x^{3} + 1$ 在点 $(0 ， 1)$ 处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为 $g (x) =$ ．

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14. 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在第一象限，若 $| A F | = 3 | B F |$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为．

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15. 福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划（简称中学生“英才计划”），在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养，现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有一种．（结果用数字作答）

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16. 在平面直角坐标系中，定义 $P (x_{1} ， y_{1})$ 、 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点间的直角距离为 $d (P ， Q) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，如图， $\overset{⌢}{B C}$ 是圆 $A ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 当 $x \geq \frac{3}{2}$ 时的一段弧， $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 与 $x$ 轴的交点，将 $\overset{⌢}{B C}$ 依次以原点 $O$ 为中心逆时针旋转 $60^{\circ}$ 五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则 $d (C ， D) =$ ．若点 $P$ 为曲线上任一点，则 $d (O ， P)$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 在① $2 c \cos B = 2 a - b$ ，② $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，③ $\cos^{2} A - \cos^{2} C = \sin^{2} B - \sin A \sin B$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）
已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且________．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ 且 $4 \sin A \sin B = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} + n = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，已知四边形 $A C D E$ 为菱形， $∠ C D E = 60 °$ ， $A C ⊥ B C$ ， $F$ 是 $D E$ 的中点，平面 $A B C \cap$ 平面 $B D E = l$ ．

(1)、证明： $l ⊥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、若平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D E$ ， $A C = B C = 2$ ，求 $A E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

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20. 一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术

(5 G)

的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发的Single

R A N

算法在部署

5 G

基站时可以把原来的

4 G

、

3 G

基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大

5 G

基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村．

附：设 $u = \ln y$ ，则 $u_{i} = \ln y_{i}$ ， $(i = 1, 2, \dots, 12)$ ， $\bar{y} \approx 1299.17$ ， $u \approx 6.88$ ， $\sum_{i = 1}^{12} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 143$ ， $\sum_{i = 1}^{12} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - y) = 37238$ ， $\sum_{i = 1}^{12} (x_{i} - \bar{x}) (u_{i} - \bar{u}) \approx 32.42$ ，对于样本 $(x_{i}, y_{i})$ ， $(i = 1, 2, \dots, n)$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 有 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、现抽样调查英市所轴的

A

地和

B

地

5 G

基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表：

	已覆盖	未覆盖
A地	20	80
B地	25	75

视样本的频率为总体的概率，假设从 $A$ 地和 $B$ 地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中 $A$ 地 $5 G$ 已覆盖的村比 $B$ 地多的概率；

(2)、该市2020年已建成的

5 G

基站数

y

与月份

x

的数据如下表：

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$y$	283	340	428	547	701	905	1151	1423	1721	2109	2601	3381

探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响， $5 G$ 基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制， $5 G$ 基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的 $5 G$ 基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型 $y = \hat{a} e^{\hat{b} x}$ 拟合比较合理，请结合参考数据，求 $5 G$ 基站数 $y$ 关于月份 $x$ 的回归方程．（ $\hat{b}$ 的值精确到0.01）．

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21. 已知点 $P (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，若过原点的直线交 $C$ 于A ， $B$ 两点，点A在第一象限， $A D ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，连接 $B D$ 并延长交 $C$ 于点 $E$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明： $A B ⊥ A E$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 4) e^{x - 3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{7}{2}$ ， $g (x) = a e^{x} + \cos x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性，并求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $a = 1$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $g (x) > 2$ ；

(3)、用 $\max {m ， n}$ 表示 $m$ ， $n$ 中的最大值，设函数 $h (x) = \max {f (x) ， g (x)}$ ，若 $h (x) \geq 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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