福建省龙岩市2021届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2021-05-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x ∣ 0 < x < 3}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、{-1} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 设 $a = {log}_{3} 5, b = {log}_{5} 3, c = {log}_{4} 2$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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3. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图，记这组数据的众数为 $M$ ，中位数为 $N$ ，平均数为 $P$ ，则（）

A、 $N < M < P$ B、 $M < N < P$ C、 $M < P < N$ D、 $P < N < M$

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4. ${(x + y - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2} y^{2}$ 的系数为（）

A、-60 B、-20 C、30 D、60

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5. 如图，一个三棱柱的容器盛有水，水的体积是三棱柱体积的 $\frac{1}{2}$ ，现将其侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 放置于水平地面，水面恰好经过底边 $A C$ 上的点 $D$ ，则 $\frac{A D}{C D}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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6. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过抛物线上一点 $P$ 作 $P Q ⊥ l$ ，垂足为 $Q$ ，若 $| P F | = 4$ ，则 $∠ F Q P =$ （）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边为 $a, b, c$ ，则" $A = B "$ 成立的必要不充分条件为（）

A、 $sin A = cos (B - \frac{π}{2})$ B、 $a cos A - b cos B = 0$ C、 $b cos A = a cos B$ D、 $\frac{a}{cos A} = \frac{b}{cos B} = \frac{c}{cos C}$

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8. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = e^{x - 2}$ 的切线，也是曲线 $y = e^{x} - 1$ 的切线，则 $k + b =$ （）

A、 $\frac{- ln 2}{2}$ B、 $\frac{1 - ln 2}{2}$ C、 $\frac{ln 2 - 1}{2}$ D、 $\frac{ln 2}{2}$

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二、多选题

9. 下列命题中正确的是（）

A、 $| \frac{2}{- 1 + i} | = \sqrt{2}$ B、复数 ${(1 - i)}^{3}$ 的虚部是-2 C、若复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 D、满足 $| z + 3 | - | z - 3 | = 4$ 的复数 $z$ 在复平面上对应点的轨迹是双曲线

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10. 已知两个函数 $f (x) = tan \frac{x}{2}$ 和 $g (x) = \frac{1 - cos x}{sin x}$ ，下列说法正确的是（）

A、两个函数的定义域相同 B、两个函数都是奇函数 C、两个函数的周期相同 D、两个函数的值域相同

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若数列 ${S_{n}}$ 为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 B、若数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 和 ${\frac{a_{n}^{2}}{n}}$ 均为等差数列，则 $S_{3} = 2 a_{3}$ D、若数列 ${a_{n}}$ 和 ${a_{n}^{2}}$ 均为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 是常数数列

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12. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello)，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo ，于1996年被收人世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶，得到圆锥 $S O ($ 其中 $S$ 为顶点， $O$ 为底面圆心)，母线 $S A$ 长为6米， $C$ 是母线 $S A$ 的靠近点 $S$ 的三等分点.从点 $A$ 到点 $C$ 绕屋顶侧面一周安装灯光带，若灯光带的最小长度为 $2 \sqrt{13}$ 米.下面说法正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $12 π$ 平方米 B、过点 $S$ 的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米 C、圆锥 $S O$ 的外接球表面积为 $72 π$ 平方米 D、棱长为 $\sqrt{3}$ 米的正四面体在圆锥 $S O$ 内可以任意转动

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量，且满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，那么向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上且在第一象限内， $M F ⊥ O F, | M O | = \sqrt{13} | O F |$ ，则 $C$ 的离心率为.

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15. 若函数 $f (x) = cos x + \frac{1}{cos x} - m$ 有零点，则 $m$ 的取值范围是.

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16. 有六个从左到右并排放置的盒子，现将若干个只有颜色不同的黑球､白球随机放入这六个盒子(每个盒子只能放入一个球)，则事件“从左往右数，不管数到哪个盒子，总有黑球个数不少于白球个数”发生的概率为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n}$ 是 $- 1$ 与 $a_{n + 1}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = {log}_{3} a_{2 n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 且 $B C = 4, B C$ 边上的中线 $A D = 4.$

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值；

(2)、在① $A = \frac{π}{3}$ ；② $A = \frac{π}{6}$ ；③ $A = \frac{π}{4}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：若 ▲ ，则 $△ A B C$ 是否存在？若存在，请求出 $△ A B C$ 的面积；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为棱 $B C$ 的中点， $A B ⊥ B C ， B C ⊥ B B_{1}$ ， $A B = A_{1} B = B C = 2 ， B B_{1} = 2 \sqrt{2}$

(1)、求证： $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $D - A C_{1} - C$ 的余弦值.

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20. 甲､乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲､乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.已知每场比赛甲赢的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙赢的概率为 $1 - p$ ，且每场比赛相互独立.

(1)、设每场比赛甲赢的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若比赛进行了5场，主办方决定颁发奖金，求甲获得奖金的分布列；

(2)、规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生.若本次比赛 $p \geq \frac{4}{5}$ ，且在已进行的3场比赛中甲赢2场､乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由.

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21. 已知 $a > b > 0$ ，曲线 $Γ$ 由曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (y \geq 0)$ 和曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (y < 0)$ 组成，其中曲线 $C_{1}$ 的右焦点为 $F_{1} (2 ， 0)$ ，曲线 $C_{2}$ 的左焦点 $F_{2} (- 6 ， 0)$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 过点 $F_{2}$ 交曲线 $C_{1}$ 于点 $A ， B$ ，求 $△ A B F_{1}$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - sin x - 1.$

(1)、证明： $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， + \infty)$ 存在唯一极小值点；

(2)、证明： $ln x < f (x)$ .

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