安徽省合肥市2021届高三下学期理数第三次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-05-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ 与 $B = {x | x = 2 k - 1 ， k \in Z}$ 关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 设 $z = \frac{1 + i}{2 i} + i$ （i是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、8

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4. 在平面直角坐标系中，已知点 $P (\cos t ， \sin t)$ ， $A (2 ， 0)$ ，当t由 $\frac{π}{3}$ 变化到 $\frac{2 π}{3}$ 时，线段 $A P$ 扫过形成图形的面积等于（）

A、2 B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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5. 已知曲线 $C : y = \cos 2 x$ ，曲线 $E : y = \sin (x + \frac{π}{3})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线E B、把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线E C、把C上各点横坐标缩短到原来 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变）后，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线E D、把C上各点横坐标缩短到原来 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变）后，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线E

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6. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} ， & 0 < x < 2 ， \\ 4 - x ， & x \geq 2 \end{matrix}$ 满足 $f (a) = f (2^{a})$ ，则 $f (2 a)$ 的值等于（）

A、2 B、0 C、-2 D、-4

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7. 图上半部分为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都要雇佣人工采摘，然后沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先将油桃集中到A处，再沿公路 $A C$ 运送；路径2：先将油桃集中到B处，再沿公路 $B C$ 运送．已知 $A C = 3 km$ ， $B C = 4 km$ ．为了减少运送时间，园主在油桃园中画定了一条界线，使得位于界线一侧的采摘工按路径1运送路程较近，另一侧的采摘工按路径2运送路程较近若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为实数，公比为q，则下列结论错误的是（）

A、若 $a_{1} a_{2} > 0$ ，则 $a_{2} a_{3} > 0$ B、若 $a_{1} + a_{2} < 0$ ，且 $a_{1} + a_{3} < 0$ ，则 $q > - 1$ C、若 $a_{n + 1} > a_{n} > 0$ ，则 $a_{n} + a_{n + 2} > 2 a_{n + 1}$ D、若 $a_{n} a_{n + 1} < 0$ ，则 $(a_{n + 1} - a_{n}) (a_{n + 1} - a_{n + 2}) < 0$

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9. 某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来 $24 h$ 城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作 $24 h$ ．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔 $20 \min$ 才有一辆到达施工现场投入工作，要在 $24 h$ 内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（）

A、25辆 B、24辆 C、23辆 D、22辆

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10. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 4 x + 1 = 0$ ，过圆外一点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $A$ ，若 $| P A | = \sqrt{2} | P O |$ （O为坐标原点），则 $| P C |$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 - \sqrt{2}$ C、 $4 - \sqrt{3}$ D、 $4 - \sqrt{5}$

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11. 已知函数 $f (x) = x \ln \frac{a}{x} + a e^{x}$ ， $g (x) = - x^{2} + x$ ，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[e, + \infty)$

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12. 几何中常用表示 $| L |$ 的测度，当 $L$ 为曲线、平面图形和空间几何体时， $| L |$ 分别对应其长度、面积和体积．在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内部一动点（含边界），在空间中，到点 $P$ 的距离为 $1$ 的点的轨迹为 $L$ ，则 $| L |$ 等于（）

A、 $6 π + 12$ B、 $\frac{22 π}{3} + 6$ C、 $\frac{20}{3} π + 12$ D、 $\frac{22 π}{3} + 12$

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二、填空题

13. 已知 $△ A B C$ 的重心为 $G$ ，若 $\vec{B G} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x - y =$ ．

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14. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 4$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，与抛物线 $C$ 的交点为 $Q$ ，且 $| Q F | = 2 | P Q |$ ，则抛物线 $C$ 的方程为．

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15. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动．该校高一年级部10个班级分别去3个革命老区开展研学游，每个班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排3个班级，则不同的安排方法共有种（用数字作答）．

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16. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，设定点为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ ，点O为坐标原点，动点 $P (x, y)$ 满足 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = a^{2}$ （ $a \geq 0$ 且为常数），化简得曲线 $E : x^{2} + y^{2} + c^{2} = \sqrt{4 x^{2} c^{2} + a^{4}}$ ．下列四个命题中，正确命题的序号是．
（将你认为正确的命题的序号都填上）

①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；

②当 $a = c$ 时， $| P O |$ 的最大值为 $\sqrt{2} a$ ；

③ $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 的最小值为 $2 a$ ；

④ $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2} a^{2}$ ．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{a}{b} = \sqrt{2} \sin (C + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b^{2} = (2 - \sqrt{2}) a c$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $B C ⊥$ 平面 $A B E$ ，且 $D E / / B C$ ， $D E = 3 B C = 6$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ D A E = ∠ A B E = 60 °$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ A C$ ；

(2)、设F为棱 $A D$ 上一点，且 $A B / /$ 平面 $C E F$ ，求二面角 $D - C F - E$ 的大小．

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19. 某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品．该电子产品由A、B两个系统组成，其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成．各个电子元件能够正常工作的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且每个电子元件能否正常工作相互独立每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修．

(1)、当 $p = \frac{1}{2}$ 时，每个系统维修费用均为200元．设 $ξ$ 为该电子产品需要维修的总费用，求 $ξ$ 的分布列与数学期望；

(2)、当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测．从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统？

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - a (x - 1)$ ．

(1)、若 $f (x) \leq 0$ ，求实数a的值；

(2)、求证： $\frac{[1 + {(n + 1)}^{2}] \cdot [2 + {(n + 1)}^{2}] \dots [n + {(n + 1)}^{2}]}{{(n + 1)}^{2 n}} < \sqrt{e} (n \in N^{*})$ ．

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21. 已知点D是圆 $Q ： {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 72$ 上一动点，点 $A (4 ， 0)$ ，线段 $A D$ 的中垂线交 $D Q$ 于点B．

(1)、求动点B的轨迹方程C；

(2)、定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线．若关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似，且焦点在同一条直线上，曲线T经过点 $E (- 3 ， 0)$ ， $F (3 ， 0)$ ．过曲线C上任一点P向曲线T作切线，切点分别为M，N，这两条切线PM， $P N$ 分别与曲线C交于点G，H（异于点P）．
证明： $\frac{| M N |}{| G H |}$ 是一个定值，并求出这个定值．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ ，直线l过点 $M (1, 2)$ ．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ \cos^{2} θ = 4 \sin θ$ ．

(1)、设直线l的倾斜角为 $α$ ，写出其参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于P，Q两点，且线段 $P Q$ 的中点为M，求直线l的方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + 2 | x - 1 |$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、若在 $x \in [1, 2]$ ，使得不等式 $f (x) > x^{2}$ 成立，求实数a的取值范围．

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