湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题9三角形

试卷更新日期：2021-05-16 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（）

A、1 B、7 C、10 D、15

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2. 如图，下列四个条件： ①BC＝B′C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′.从中任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是（）

A、65° B、55° C、45° D、35°

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4. 如图，在 $5 \times 5$ 格的正方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）

A、5个 B、6 个 C、7个 D、8 个

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5. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（）秒时，△ABP和△DCE全等．

A、1 B、1或3 C、1或7 D、3或7

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7. 如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A₁∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂ ，依此类推，∠A₄BC与∠A₄CD的平分线相交于点A₅ ，则∠A₅的度数为（）

A、19.2° B、8° C、6° D、3°

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8. 如图，已知AB=A₁B，A₁B₁=A₁A₂ ， A₂B₂=A₂A₃ ， A₃B₃=A₃A₄…，若∠A=70°，则∠A_n_﹣1A_nB_n_﹣1（n＞2）的度数为（）

A、 $\frac{70 °}{2^{n}}$ B、 $\frac{70 °}{2^{n + 1}}$ C、 $\frac{70 °}{2^{n - 1}}$ D、 $\frac{70 °}{2^{n + 2}}$

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9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，若C也是格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题

10. $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + 16}$ 的最小值为。

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11. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 、 $F$ 分别为边 $A B$ 、 $A C$ 上的动点，且 $∠ E D F = 90 °$ ，连接 $E F$ ，下列说法正确的是.（写出所有正确结论的序号）
① $∠ B E F + ∠ C F E = 270 °$ ；② $E D = F D$ ；③ $E F = F C$ ；④ $S_{四边形 A E D F} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$

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12. △ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC= $\sqrt{6}$ ．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为．

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13. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ， $E$ ， $F$ 是垂足，现给出以下四个结论：① $∠ D E F = ∠ D F E$ ；② $A E = A F$ ；③ $A D$ 垂直平分 $E F$ ；④ $∠ B D E = ∠ C D F$ ．其中正确结论的个数是．

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14. 如图， $A D$ 是 $Δ A B C$ 的中线， $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 和 $A D$ 延长线上的点，且 $D E = D F$ ，连接 $B F$ 、 $C E$ ，下列说法：① $Δ A B D$ 和 $Δ A C D$ 的面积相等，② $∠ B A D = ∠ C A D$ ，③ $Δ B D F ≅ Δ C D E$ ，④ $B F / / C E$ ，⑤ $C E = B F$ ，其中一定正确的答案有．（只填写正确的序号）

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15. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是．

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16. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点．有下列结论：①∠AMD＝90°；②M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④S_△_ADM＝S_梯形_ABCD；⑤M到AD的距离等于BC的一半．其中正确的结论有

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17. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内正六边形的面积S₆ ，则S₆＝．

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18. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是（用含m的代数式表示）

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三、解答题

19.
如图1，把边长为4的正三角形各边四等分，连接各分点得到16个小正三角形．

(1)、如图2，连接小正三角形的顶点得到的正六边形ABCDEF的周长=

(2)、请你判断：命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题还是假命题如果是真命题，请你把它改写成“如果…，那么…”的形式；如果是假命题，请在图1中画图说明．

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20. 如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．

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21. 阅读：能够成为直角三角形的三边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组的公式为 ${\begin{matrix} \begin{array}{l} a = \frac{1}{2} (m^{2} - n^{2}) \\ b = m n \end{array} \\ c = \frac{1}{2} (m^{2} + n^{2}) \end{matrix}$ 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长．

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22. 如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外)，并选择其中的一对加以说明．

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23. 如图①， $AB=4$ cm， $AC ⊥ AB$ ， $BD ⊥ AB$ ， $AC=BD= 3$ cm.点 $P$ 在线段 $AB$ 上以1 cm/s的速度由点 $A$ 向点 $B$ 运动，同时，点 $Q$ 在线段 $BD$ 上由点 $B$ 向点 $D$ 运动.它们运动的时间为 $t$ s.

(1)、若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度相等，当 $t=1$ 时， $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 $P C$ 和线段 $P Q$ 的位置关系；

(2)、如图②，将图①中的“ $AC ⊥ AB$ ， $BD ⊥ AB$ ”改为“ $∠ C A B = ∠ D B A = 60 °$ ”，其他条件不变.设点 $Q$ 的运动速度为 $x$ cm/s，是否存在实数 $x$ ，使得 $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 全等?若存在，求出相应的 $x ， t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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24. 如图所示，在 △ ABC中， ∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．求证： ∠DBC= $\frac{1}{2}$ ∠A．

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25. 如图， ∠A=80°， ∠ABC的平分线和 ∠ACB的外角平分线相交于D，求∠D的大小．

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26. 如图，在 △ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E，求证： ∠ABE<∠ACB．

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27. 如图，P为△ABC内的一点．求证： ∠BPC> ∠A

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四、作图题

28. 仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.

(1)、如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；

(2)、如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）. 试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON.

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29.
已知：如图△ABC ．
求作：①AC边上的高BD；
②△ABC的角平分线CE ．

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五、综合题

30. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．

(1)、求∠ACB的度数；

(2)、过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．

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31.

(1)、如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°。得△BCQ，连接PQ.若PA²+PB²=PC² ，证明∠PQC=90°；

(2)、如图②所示，P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内的一点，连接PA，PB，PC，将 △BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ.当PQ，PB，PC满足什么条件时∠PQC=90°?请说明.

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32. 如图，在Rt $△$ ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为他t(s)．

(1)、当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？

(2)、是否存在某一时刻t，使 $△$ APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．

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33. 以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．

(1)、说明BD=CE；

(2)、延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；

(3)、若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．

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34. 如图，是一个4×4的方格，

(1)、求图中∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和．

(2)、求∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16．

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35.
如图（1）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PD+PE＝BF．

【思路梳理】：如图（2）：连接AP，必有S_△APB+S_△APC＝S_△ABC ，因为△ABP、△ACP和△ABC的底相等，所以三条高PD、PE和BF满足关系：PD+PE＝BF．

(1)、【变式应用】：如图（3）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC的反向延长线上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PE﹣PD＝BF．

(2)、【类比引申】：如图（4）：已知P是边长为4cm等边△ABC内部一点，作PD⊥BC于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，那么PD+PE+PF＝．

(3)、【联想拓展】：已知某三角形的三条边分别是5cm、12cm、13cm，在平面上有一点P，它到此三角形的三边的距离相等，则这个距离等于．

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36.

(1)、（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请接要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝．

(2)、（问题解决）
如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ $\sqrt{3}$ ，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；

(3)、（灵活运用）
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝ $\sqrt{5}$ ，BP＝ $\sqrt{2}$ ，PC＝1，求∠BPC的度数．

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37. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)、当点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；

(2)、当点P在AB上，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形．

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38. 如图1中A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．

(1)、现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选．
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）

方案2：作A点关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）

从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工．请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．

(2)、有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q与CD中点G相距多远时，△ABQ为等腰三角形？直接写出答案，不要说明理由．

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