湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题8函数综合

试卷更新日期：2021-05-16 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 $\vec{p_{1} p_{2}}$ ， $\vec{p_{2} p_{3}}$ ， $\vec{p_{3} p_{4}}$ ，…，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P₁P₂ ， P₂P₃ ， P₃P₄ ， …，得到螺旋折线(如图)，已知点P₁(0，1)，P₂(－1，0)，P₃(0，－1)，则该折线上的点P₉的坐标为（）

A、(－6，24) B、(－6，25) C、(－5，24) D、(－5，25)

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2. 一个寻宝游戏的寻宝通道如图①所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA， OB，OC组成。为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图像大致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为：（）

A、A→O→B B、B→A→C C、B→O→C D、C→B→O

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3. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）

A、ac＞0 B、当x＞0时，y随x的增大而减小 C、2a﹣b=0 D、方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=﹣1，x₂=3

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5. 如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂ ，其中﹣2＜x₁＜﹣1，0＜x₂＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b²+8a＞4ac．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 下列四个函数：①y=﹣ $\frac{2}{x}$ ；②y=2（x+1）²﹣3；③y=﹣2x+5；④y=3x﹣10．其中，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大的函数是（）

A、①④ B、②③ C、②④ D、①②

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7. 设A（﹣2，y₁），B（﹣1，y₂），C（2，y₃）是抛物线y=﹣2（x﹣1）²+k（k为常数）上的三点，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为（）

A、y₃＞y₂＞y₁ B、y₁＞y₂＞y₃ C、y₃＞y₁＞y₂ D、y₂＞y₃＞y₁

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8. 给出下列命题及函数y=x与y=x²和 $y = \frac{1}{x}$ 的图象：
①如果 $\frac{1}{a}$ ＞a＞a² ，那么0＜a＜1；
②如果a²＞a＞ $\frac{1}{a}$ ，那么a＞1或﹣1＜a＜0；
③如 $\frac{1}{a}$ ＞a²＞a，那么﹣1＜a＜0；
④如果a²＞ $\frac{1}{a}$ ＞a，那么a＜﹣1．则（）

A、正确的命题只有① B、正确的命题有①②④ C、错误的命题有②③ D、错误的命题是③④

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9. 如图，点A₁、A₂、A₃、…、A_n在抛物线y=x²图象上，点B₁、B₂、B₃、…、B_n在y轴上，若△A₁B₀B₁、△A₂B₁B₂、…、△A_nB_n_﹣₁B_n都为等腰直角三角形（点B₀是坐标原点），则△A₂₀₁₄B₂₀₁₃B₂₀₁₄的腰长等于（）

A、2013 B、2014 C、2013 $\sqrt{2}$ D、2014 $\sqrt{2}$

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10. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O₁、O₂、O₃ ， …组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（　　）

A、（2014，0） B、（2015，-1） C、（2015，1） D、（2016，0）

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11. 如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于 $\frac{k}{2}$ ，其中正确的个数有（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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二、填空题

13. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．

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14. 如图，已知点 $A$ 、 $B$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上， $A C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $B D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $P$ ， $P$ 是 $A C$ 的中点，若 $△ A B P$ 的面积为 $3$ ，则 $k$ 的值等于．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0）、A（0，6）、B（4，6）、C（4，4）、D（6，4），E（6，0），若直线L经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线L的函数表达式是

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16. 数y=ax²+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y₁），Q（ $\frac{5}{2}$ ，y₂）是函数图象上的两点，则y₁＞y₂；③a=﹣ $\frac{1}{3}$ c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣ $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ．其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）

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17. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 经过的坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 4 k + 1}{x}$ 的图象上，若点 $A$ 的坐标为 $(- 2 ， - 3)$ ，则 $k$ 的值为．

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18. 如图，直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A$ 、 $B$ 两点的坐标分别为 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}$ 的值为．

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19.
已知抛物线y=x²﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象．如图，当直线y=﹣x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为．

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三、解答题

20. 如图1，已知二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣ $\frac{8}{3}$ ，直线l的解析式为y=x．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；

(3)、在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．

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21. 如图双曲线 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 与矩形 AOCB 的边 AB 、 BC 分别交于 E 、 F 点， OA 、 OC 在坐标轴上，BE=2AE 且S_{四边形OEBF}=2，求 k ．

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22.
如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若反比例函数y= $\frac{m}{x}$ 图象经过P点、Q点，求a的值；

（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；

（3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由；

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23. 小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x²﹣x﹣1=0的两个解．

(1)、解法一：（1）选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．

(2)、
（2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图（1）所示，①把方程x²-x-1=0的解看成是二次函数y= 的图象与x 轴交点的横坐标，即x₁ ， x₂就是方程的解。②画出这两个函数的图象，用x₁ ， x₂在x轴上标出方程的解。

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四、作图题

24. 已知二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3）.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、在图中，画出二次函数的图象；

(3)、根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．

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25. 把y= $- \frac{1}{2}$ x²的图象向上平移2个单位.

(1)、求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；

(2)、画出平移后的函数图象；

(3)、求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.

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26. 已知反比例函数的图象过点 $A (- 2 ， 4)$ ．

(1)、这个反比例函数图象分布在哪些象限？ $y$ 随 $x$ 的增大而如何变化？

(2)、点 $B (4 ， - 2)$ ， $C (6 ， - \frac{4}{3})$ 和 $D (2 \sqrt{2} ， - 3 \sqrt{2})$ 哪些点在图象上？

(3)、画出这个函数的图象．

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27. 已知函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象经过点(－3，4)．

(1)、求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象；

(2)、当x取什么值时，函数的值小于0?

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五、综合题

28. 如图 $1$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知直线 $y = k x + n$ 过 $B ， C$ 两点．

(1)、求抛物线和直线 $B C$ 的表达式；

(2)、点 $P$ 是抛物线上的一个动点，
①如图 $1$ ，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $P A$ ，交直线 $B C$ 于点 $D$ ．设 $Δ P D C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ A D C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ．点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上的一个动点，是否存在以点 $E ， F ， P ， Q$ 为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，求出点 $P ， Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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29. 已知抛物线 $y = - 2 x^{2} + (b - 2) x + (c - 2020)$ (b ， c为常数)．

(1)、若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ， c的值；

(2)、若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；

(3)、在（1）的条件下，存在正实数m ， n( m＜n)，当m≤x≤n时，恰好有 $\frac{m}{2 m + 1} \leq \frac{1}{y + 2} \leq \frac{n}{2 n + 1}$ ，求m ， n的值．

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30. 在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0)．

(1)、求抛物线对应的二次函数表达式；

(2)、探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；

(3)、应用：如图2，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为(x₁ ， y₁)、(x₂ ， y₂)，则线段AB的中点坐标为( $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $\frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ )．

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31. 已知抛物线F：y＝x²+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，0）．

(1)、求抛物线F的解析式；

(2)、如图1，直线l：y $= \frac{\sqrt{3}}{3}$ x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x₁ ， y₁）和点B（x₂ ， y₂）（点A在第二象限），求y₂﹣y₁的值（用含m的式子表示）；

(3)、在（2）中，若m $= \frac{4}{3}$ ，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．
①判断△AA′B的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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32.
如图，抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

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