湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题7 二次函数

试卷更新日期：2021-05-16 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 如图，是抛物线y₁＝ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A ， B两点，下列结论：①2a+b＝0；m+n＝3；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③方程ax²+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1 $<$ x $<$ 4时，有y₂ $<$ y₁；⑤若ax₁²+bx₁＝ax₂²+bx₂ ，且x₁≠x₂ ，则x₁+x₂＝1．正确的为（）

A、①④⑤ B、①③④ C、①③⑤ D、①②③

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2. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②9a+c＞3b；③若点A（﹣3，y₁）、点B（﹣ $\frac{1}{2}$ ，y₂）、点C（ $\frac{7}{2}$ ，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂：④若方程ax²+bx+c＝﹣3（a≠0）的两根为x₁和x₂ ，且x₁＜x₂ ，则x₁＜﹣1＜3＜x₂；⑤m（am+b）﹣b＜a ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C：y＝x²﹣6x+5在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线l：y＝x+m与图象G有两个公共点，求m的取值范围甲同学的结果是﹣5＜m＜﹣1，乙同学的结果是m＞ $\frac{5}{4}$ ．下列说法正确的是（）

A、甲的结果符合题意 B、乙的结果符合题意 C、甲、乙的结果合在一起才正确 D、甲、乙的结果合在一起也不正确

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4. 若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx²﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ ≤m＜1 B、 $\frac{1}{2}$ ＜m≤1 C、1＜m≤2 D、1＜m＜2

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5. 已知抛物线y=ax²+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴一定在y轴的左侧；②a-b+c≥0；③关于x的方程ax²+bx+c=2一定无实数根；④ $\frac{a + b + c}{b - a}$ 的最小值是3，其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知二次函数y=x²﹣2x+c的图象沿x轴平移后经过（﹣1，y₁），（5，y₂）两点若y₁＞y₂ ，则图象可能的平移方式是（）

A、向左平移5单位 B、向左平移3单位 C、向右平移1单位 D、向右平移2单位

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7. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点(点P与点B，C都不重合)，现将APCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（

A、y= $\frac{4}{25} x^{2}$ B、 y= $\frac{2}{25} x^{2}$ C、 y= $\frac{2}{5} x^{2}$ D、y= $\frac{4}{5} x^{2}$

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9. 抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜x_B＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（）

A、①②③④ B、①②④ C、①③④ D、①②③

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象如图，若一元二次方程 $a x^{2} + b x + k = 0$ 有实数解，则k的最小值为（）

A、-4 B、-6 C、-8 D、0

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11. 已知二次函数y=x²﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$ 或 $\sqrt{2}$

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二、填空题

12. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{3}{2}$ 的图象与坐标轴交于点A ， B ， D ，顶点为E ，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C ，圆心为M ， P是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E在⊙M的内部；②CD的长为 $\frac{3}{2} + \sqrt{3}$ ；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝ $\sqrt{6}$ ，则PE＝ $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ ⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．其中结论正确的是

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13. 如图，已知函数y=ax²+bx+c（a $>$ 0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b²﹣4ac $>$ 0； ②当x $<$ 2时，y随x增大而增大； ③a﹣b+c $<$ 0；④抛物线过原点；⑤当0 $<$ x $<$ 4时，y $<$ 0．其中结论正确的是．（填序号）

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14. 某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为件（用含x的代数式表示）．

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15. 已知函数 $y = {\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} - 1 & (x \leq 3) \\ {(x - 5)}^{2} - 1 & (x > 3) \end{matrix}$ ，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为．

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} + (3 a + \frac{4}{3}) x + 4$ 交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为．

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17. 已知二次函数y=a（x﹣1）²﹣2（a≠0）的图象在﹣1＜x＜0这一段位于x轴下方，在3＜x＜4这一段位于x轴的上方，则a的值为．

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18. 如图，抛物线y₁=a（x+2）²﹣3与y₂= $\frac{1}{2}$ （x﹣3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y₂的值总是正数；②a=1； ③当x=0时，y₂﹣y₁=4④2AB=3AC．其中正确结论是．

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19. 已知关于x的二次函数y=ax²+（a²﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是．

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三、解答题

20. 已知 $y = (m^{2} - m) x^{m^{2} - 2 m - 1} + (m - 3) x + m^{2}$ 是x的二次函数，求出它的解析式．

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21. 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．

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22. 在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (1 ， 0)$ .已知抛物线 $y = x^{2} + m x - 2 m$ （ $m$ 是常数），顶点为 $P$ .
（Ⅰ）当抛物线经过点 $A$ 时，求顶点 $P$ 的坐标；

（Ⅱ）若点 $P$ 在 $x$ 轴下方，当 $∠ A O P = 45 °$ 时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）无论 $m$ 取何值，该抛物线都经过定点 $H$ .当 $∠ A H P = 45 °$ 时，求抛物线的解析式.

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四、作图题

23. 已知二次函数y=﹣x²+2x+3图象的对称轴为直线．

(1)、请求出该函数图象的对称轴；

(2)、在坐标系内作出该函数的图象；

(3)、有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x²+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．

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五、综合题

24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，关于x的二次函数 $y = x^{2} + p x + q$ 的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求当 $- 2 \leq x \leq 1$ 时，y的最大值与最小值的差；

(3)、一次函数 $y = (2 - m) x + 2 - m$ 的图象与二次函数 $y = x^{2} + p x + q$ 的图象交点的横坐标分别是a和b，且 $a < 3 < b$ ，求m的取值范围．

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25. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 $A (1 ， 4)$ ，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N ，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

(3)、当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使 $Δ P N C$ 的面积是矩形MNHG面积的 $\frac{9}{16}$ ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ，以 $A B$ 为边在 $x$ 轴上方作正方形 $A B C D$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，连接 $C P$ ，过点 $P$ 作 $C P$ 的垂线与 $y$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求该抛物线的函数关系表达式；

(2)、当点 $P$ 在线段 $O B$ （点 $P$ 不与 $O 、 B$ 重合）上运动至何处时，线段 $O E$ 的长有最大值？并求出这个最大值；

(3)、在第四象限的抛物线上任取一点 $M$ ，连接 $M N 、 M B$ ．请问： $Δ M B N$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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27. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - 5 \sqrt{3} x + c (a > 0)$ 的图象抛物线与 $x$ 轴相交于不同的两点 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，

(1)、若抛物线的对称轴为 $x = \sqrt{3}$ 求的 $a$ 值；

(2)、若 $a = 15$ ，求 $c$ 的取值范围；

(3)、若该抛物线与 $y$ 轴相交于点D，连接BD，且∠OBD＝60°，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴相交点E，点F是直线 $l$ 上的一点，点F的纵坐标为 $3 + \frac{1}{2 a}$ ，连接AF，满足∠ADB＝∠AFE，求该二次函数的解析式.

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28. 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．

(1)、求抛物线的解析式和对称轴；

(2)、是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)、设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．

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29. 如图，已知抛物线y=ax²+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l₁：y=k₁x+b₁（k₁ ， b₁为常数，且k₁≠0），直线l₂：y=k₂x+b₂（k₂ ， b₂为常数，且k₂≠0），若l₁⊥l₂ ，则k₁•k₂=﹣1．
解决问题：
①若直线y=3x﹣1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；
②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．

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