浙教版备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题13 二次函数

试卷更新日期：2021-05-16 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下表：

下列说法正确的是（）

A、抛物线的开口向下 B、当x＞-3时，y随x的增大而增大 C、二次函数的最小值是-2 D、抛物线的对称轴是直线x=-2.5

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2. 已知二次函数y=a（x-2）²+c，当x=x₁时，函数值为y₁；当x=x₂时，函数值为y₂ ，若|x₁-2|>|x₂-2|，则下列表达式正确的是（）

A、y₁+y₂>0 B、y₁-y₂>0 C、a（y₁-y₂）>0 D、a（y₁+y₂）>0

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3. 如图所示，已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1.直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax²+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（αx+b）≤a+b；④a＞﹣1.其中正确的有（）

A、 4个 B、3个 C、2个 D、1个

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4. 如图，抛物线y=-x²+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x²+mx-t=0 (t为实数)在1<x<3的范围内有解，则t的取值范围是（）

A、-5<t≤4 B、3<t≤4 C、-5<t<3 D、t>-5

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5. 已知函数y₁＝mx²+n，y₂＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知M、N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，点N在直线y＝x+4上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝﹣abx²+（a+b）x有（）

A、最小值为2 B、最大值为2 C、最小值为﹣2 D、最大值为﹣2

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7. 二次函数

y = x^{2} + b x + c

的部分对应值如下表：

x	$\dots$	-2	-1	0	1	2	4	$\dots$
y	$\dots$	5	0	-3	-4	-3	5	$\dots$

则关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的解为（）

A、

x_{1} = - 1

，

x_{2} = - 3

B、

x_{1} = - 1

，

x_{2} = 1

C、

x_{1} = - 1

，

x_{2} = 3

D、

x_{1} = - 1

，

x_{2} = 5

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8. 把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度 $h$ （米）与所经过的时间 $t$ （秒）之间的关系为 $h = 10 t - \frac{1}{2} t^{2} (0 \leq t \leq 14)$ . 若存在两个不同的 $t$ 的值，使足球离地面的高度均为 $a$ （米），则 $a$ 的取值范围（）

A、 $0 \leq a \leq 42$ B、 $0 \leq a < 50$ C、 $42 \leq a < 50$ D、 $42 \leq a \leq 50$

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9. 若抛物线y=-x²+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.①抛物线y=-x²+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点；②若点M（-2，y₁）、点N（ $\frac{1}{2}$ ，y₂）、点P（2，y₃）在该函数图象上，则y₁<y₂<y₃；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y=-（x+1）²+m；④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为3+ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{13}$ 。其中错误的是（）

A、①③ B、② C、②④ D、③④

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10. 已知直线x＝1是二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x₁ ， y₁）和点B（x₂ ， y₂）为其图象上的两点，且y₁<y₂ ，（）

A、若x₁<x₂ ，则x₁+x₂﹣2＜0 B、若x₁<x₂ ，则x₁+x₂﹣2>0 C、若x₁＞x₂ ，则a（x₁+x₂-2）＞0 D、若x₁＞x₂ ，则a（x₁+x₂-2）<0

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二、填空题

11. 如果抛物线y＝（x﹣m）²+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为.

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12. 当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣ $\frac{1}{2}$ （x+3）²+5恰好有最大值3，则a＝.

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13. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）²﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为.

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14. 小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部A下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的弧CE和弧FD的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线.如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C.E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为cm.

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15. 记实数x₁ ， x₂ ，中的最小值为min{x₁ ， x₂}，例如min{0，−1}=−1，当x取任意实数时，则min{-x²+4， 3x }的最大值为.

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16. 已知自变量为x的二次函数y=（ax+b）（x+ $\frac{3}{b}$ )经过(m，3)、（m+4，3）两点，若方程（ax+b）（x+ $\frac{3}{b}$ ）=0的一个根为x=5，则其另一个根为．

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17. 某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间经过时，将触发报警.现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图）已知点A，B的坐标分别为（0，4），（5，4），小车沿抛物线y=ax²-2ax-3a运动.若小车在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是

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18. 如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x²+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1：3，则k值为.

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三、综合题

19. 已知在同一平面直角坐标系中有函数y₁＝ax²﹣2ax+b，y₂＝﹣ax+b，其中ab≠0.

(1)、求证：函数y₂的图象经过函数y₁的图象的顶点；

(2)、设函数y₂的图象与x轴的交点为M，若点M关于y轴的对称点M'在函数y₁图象上，求a，b满足的关系式；

(3)、当﹣1＜x＜1时，比较y₁与y₂的大小.

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20. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + 3 (a < 0)$ 的图象与x轴交于点 $A ， B$ (点A位于对称轴的左侧)，与y轴交于点C.已知 $O A = 1$ .

(1)、求该二次函数的对称轴及点B的坐标.

(2)、点 $P (0 ， n)$ 为线段 $O C$ 上一点，过点P作直线 $l / / x$ 轴交图象于点 $D ， E$ (点E在点D的左侧)，将顶点M作直线l的对称点 $M_{1}$ ，若点 $M_{1}$ 在x轴上方，且到x轴距离为1，求n的值.

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21. 在平面直角坐标系中，设二次函数y₁=x²+bx+a，y₂=ax²+bx+1(a，b是实数，a≠0)。

(1)、若函数y₁的对称轴为直线x=3，且函数y₁的图象经过点(a，b)，求函数y₁的表达式。

(2)、若函数y₁的图象经过点(r，0)，其中r≠0，求证：函数y₂的图象经过点( $\frac{1}{r}$ ，0)。

(3)、若函数y₁和函数y₂的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m，n的值。

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22. 对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}=﹣1，min{2，2}=2．类似地，若函数y₁、y₂都是x的函数，则y=min{y₁ ， y₂}表示函数y₁和y₂的“取小函数”．

(1)、设y₁=x，y₂= $\frac{1}{x}$ ，则函数y=min{x， $\frac{1}{x}$ }的图象应该是中的实线部分．

(2)、请在图1中用粗实线描出函数y=min{（x﹣2）² ，（x+2）²}的图象，并写出该图象的三条不同性质：
①；②；③；

(3)、函数y=min{（x﹣4）² ，（x+2）²}的图象关于对称．

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23. 二次函数y= $(m - 1) x^{m^{2} + m} - 6 x + 9$ 的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

(1)、求出m的值并求出点A、点B的坐标．

(2)、当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

(3)、是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

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24. 受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨。如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）与周次x（x是正整数，1≤x<5）的关系可近似用函数y= $\frac{2}{5}$ x+a刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）从第5周的6元/kg下降至第6周的5.6元/kg，y与周次x（5≤x≤7）的关系可近似用函数y= $- \frac{1}{10}$ x²+bx+5刻画。

(1)、求a，b的值。

(2)、若前五周该蔬菜的销售量m（kg）与每周的平均销售价格y（元/kg）之间的关系可近似地用如图2所示的函数图象刻画，第6周的销售量与第5周相同。
①求m与y的函数表达式；

②在前六周中，哪一周的销售额w（元）最大？最大销售额是多少？

(3)、若该蔬菜第7周的销售量是100kg，由于受降雨的影响，此种蔬菜第8周的可销售量将比第7周减少n%（n>0）。为此，公司又紧急从外地调运了5此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第8周的销售价格比第1周仅上涨0.8n%。若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周刚好持平，请通过计算估算出n的整数值。

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25. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $(3 ， 12)$ 和 $(- 2 ， - 3)$ ，与两坐标轴的交点分别为A、B、C，它的对称轴为直线l，顶点为D.

(1)、求该抛物线的表达式和顶点D的坐标；

(2)、直线AC交抛物线的对称轴l于点E，在抛物线上是否存在点F，使得△BCF与△BCE的面积相等，如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由.

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26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x²+bx+c与直线y＝﹣x+1相交于点A(0，1)和点B(3，﹣2)，交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；

(3)、如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值.

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27. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上.

(1)、当m=5时，求n的值.

(2)、当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x的取值范围.

(3)、作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围.

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28. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ax²+2ax+c与x轴相交于A（﹣1，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴相交于点C（0，3 $\sqrt{2}$ ），点D是抛物线的顶点.

(1)、如图1，求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点F（0，b）在y轴上，连接AF，点Q是线段AF上的一个动点，P是第一象限抛物线上的一个动点，当b＝﹣ $\sqrt{2}$ 时，求四边形CQBP面积的最大值与点P的坐标；

(3)、如图2，点C₁与点C关于抛物线对称轴对称.将抛物线y沿直线AD平移，平移后的抛物线记为y₁ ， y₁的顶点为D₁ ，将抛物线y₁沿x轴翻折，翻折后的抛物线记为y₂ ， y₂的顶点为D₂.在（2）的条件下，点P平移后的对应点为P₁ ，在平移过程中，是否存在以P₁D₂为腰的等腰△C₁P₁D₂ ，若存在请直接写出点D₂的横坐标，若不存在请说明理由.

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