浙教版备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题7 数与形规律

试卷更新日期：2021-05-16 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、单选题

1. 求1+2+2²+2³+…+2²⁰²⁰的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰²⁰ ，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰²¹ ，因此2S－S=2²⁰²¹－1.仿照以上推理，计算出1+2020+2020²+2020³+…+2020²⁰²⁰的值为（）

A、 $\frac{2020^{2020} - 1}{2020}$ B、 $\frac{2020^{2021} - 1}{2020}$ C、 $\frac{2020^{2021} - 1}{2019}$ D、 $\frac{2020^{2020} - 1}{2019}$

查看试题解析
2. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 $\hat{P_{1} P_{2}}$ ， $\hat{P_{2} P_{3}}$ ， $\hat{P_{3} P_{4}}$ ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P₁P₂ ， P₂P₃ ， P₃P₄ ， …得到螺旋折线（如图），已知点P₁（0，1），P₂（﹣1，0），P₃（0，﹣1），则该折线上的点P₉的坐标为（）

A、（﹣6，24） B、（﹣6，25） C、（﹣5，24） D、（﹣5，25）

查看试题解析
3. 一个正整数N的各位数字不全相等，且都不为0，现要将N的各位数字重新排列，可得到一个最大数和一个最小数，此最大数与最小数的和记为N的“和数”；此最大数与最小数的差记为N的“差数”。例如，245的“和数”为542+245=787；245的“差数”为542-245=297。一个四位数M，其中千位数字和百位数字均为a，十位数字为1，个位数字为b(且a≥1，b≥1)，若它的“和数”是6666，则M的“差数”的值为（）

A、3456或3996 B、4356或3996 C、3456或3699 D、4356或3699

查看试题解析
4. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 $n$ 的值为（）

A、491 B、1045 C、1003 D、533

查看试题解析
5. 正方形ABCD的边长为1，其面积记为S₁ ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S₂ ， …按此规律继续下去，则S₂₀₁₉的值为（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{2019}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{2018}$ C、 ${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2019}$ D、 ${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2018}$

查看试题解析
6. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“ ”方向排序，如 $(1 ， 0)$ ， $(2 ， 0) (2 ， 1)$ ， $(1 ， 1) (1 ， 2) (2 ， 2)$ ，…，根据这个规律，第 $2015$ 个点的横坐标为（）

A、44 B、45 C、46 D、47

查看试题解析
7. 正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁ ， A₃B₃C₃C₂ ， …按如图的方式放置.点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …和点C₁ ， C₂ ， C₃ ， …分别在直线y=x+1和x轴上，则点B₆的坐标是（）

A、（63，32） B、（64，32） C、（63，31） D、（64，31）

查看试题解析
8. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A、289 B、1024 C、1225 D、1378

查看试题解析
9. 南宋数学家杨辉在其著作《解：九章算法》中揭示了（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
（a+b）⁰＝1

（a+b）¹＝a+b

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

…

则（a+b）⁹展开式中所有项的系数和是（）

A、128 B、256 C、512 D、1024

查看试题解析
10. 有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以 $- \frac{1}{2}$ ，再加3”的运算。现在输入一个x=4，通过第1次运算的结果为x₁ ，再把x₁输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为x₂ ， …，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果x_n（）

A、越来越接近4 B、越来越接近于-2 C、越来越接近2 D、不会越来越接近于一个固定的数

查看试题解析

二、填空题

11. 把所有的正整数按一定规律排列成如图所示的数表，若根据行列分布，正整数6对应的位置记为（2，3），则位置（4，2）对应的正整数是.

查看试题解析
12. “天干地支”纪年法是中国古老的纪年法，由“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十天干与“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二地支依次相配组成。如：甲子、乙丑、丙寅、10年后天干从“甲”重新开始纪年，12年后地支从“子”重新开始纪年，依次下去.公元2020年对应“庚子”年，下一次出现“庚子”年是公元年。

查看试题解析
13. 如图，小圆O的半径为1，△A₁B₁C₁ ， △A₂B₂C₂ ， △A₃B₃C₃ ， …，△A_nB_nC_n依次为同心圆O的内接正三角形和外切正三角形，由弦A₁C₁和弧A₁C₁围成的弓形面积记为S₁ ，由弦A₂C₂和弧A₂C₂围成的弓形面积记为S₂ ， …，由弦A_nC_n和弧A_nC_n围成的弓形面积记为S_n ，其中由弦A₂₀₂₀C₂₀₂₀和弧A₂₀₂₀C₂₀₂₀围成的弓形面积S₂₀₂₀为。

查看试题解析
14. 设 $a_{0} = \sqrt{2} ， a_{n + 1} = [a_{n}] + \frac{1}{{a_{n}}}$ ，（n为自然数），其中 $[a_{n}]$ 与 ${a_{n}}$ 分别表示 $a_{n}$ 的整数部分和小数部分，如[2.5]=2， ${2 ， 5}$ =0.5； $[- 2 ， 6] = - 3$ ， ${- 2 ， 6}$ =0.4；则 $a_{2019}$ =

查看试题解析
15. 如图，∠AOB＝30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃…、半圆∁_n的半径分别是r₁、r₂、r₃…、r_n ，则 $\frac{r_{2013}}{r_{2012}}$ ＝.

查看试题解析
16. 如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍. 如果搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个，那么能连续搭建正三角形的个数是；

查看试题解析
17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，边OA，OC分别在x轴，y轴上，若以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁ ，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂ ，按此规律做下去，则 $\frac{O C_{2014}}{O C_{2015}}$ =

查看试题解析
18. 如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A₁点，再向正北方向走6m到达A₂点，再向正西方向走9m到达A₃点，再向正南方向走12m到达A₄点，再向正东方向走15m到达A₅点，按如此规律走下去，相对于点O，机器人走到A₆时是位置．

查看试题解析
19. 一只电子跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后按图中箭头所示方向跳动，且每秒跳动一个单位，那么第2020秒时电子跳蚤所在位置的坐标是。

查看试题解析
20. 在平面直角坐标系中，如果一个图形向右平移1个单位，再向上平移3个单位，称为一个变换，已知点A（1，-2），经过一个变换后对应点为A₁ ，经过2个变换后对应点为A₂ ， …经过n个变换后对应点为A_n ，则用含n的代数式表示点A_n的坐标为。

查看试题解析

三、综合题

21. 在多项式中有一类比较有趣的因式分解，如我们已经学过的
$1 - x^{2} = (1 - x) \cdot (1 + x)$

$1 - x^{3} = (1 - x) \cdot (1 + x + x^{2})$

(1)、证明： $1 - x^{4} = (1 - x) \cdot (1 + x + x^{2} + x^{3})$ ；

(2)、据此猜想，对任意正整数 $n \geq 2 ， 1 - x^{n} =$ （不必证明）；

(3)、利用（2），求 $\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} + ... + {(\frac{1}{2})}^{2019}$ 的值

查看试题解析
22. （问题一）：观察下列等式
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ， \begin{matrix} \end{matrix} \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ， \begin{matrix} \end{matrix} \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

将以上三个等式两边分别相加得：

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(1)、猜想并写出： $\frac{1}{n (n + 1)} =$ .

(2)、直接写出下列各式的计算结果：
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots \dots + \frac{1}{2016 \times 2017} =$ ；

(3)、探究并计算：①. $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{2015 \times 2017}$
② $\frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} - \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{17 \times 19} - \frac{1}{18 \times 20}$

查看试题解析
23. 如图，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重复部分…将余下部分沿∠B_nA_nC的平分线A_nB_n₊₁折叠，点B_n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC是△ABC的好角．

(1)、若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C （设∠B＞∠C）之间的等量关系为．

(2)、若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数．（写出一种即可）

查看试题解析
24. 阅读材料：
对于排好顺序的三个数： $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，称为数列 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ .计算 $| x_{1} | ， \frac{| x_{1} + x_{2} |}{2} ， \frac{| x_{1} + x_{2} + x_{3} |}{3}$ 的值，将这三个算式的最小值称为数列 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 的价值.例如，对于数列 $3 ， - 1 ， 2$ ，因为 $| 3 | = 3 ， \frac{| 3 + (- 1) |}{2} = 1 ， \frac{| 3 + (- 1) + 2 |}{3} = \frac{4}{3}$ ，所以数列 $3 ， - 1 ， 2$ 的价值为 $1$ .

当改变数列中三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列 $- 1 ， 2 ， 3$ 的价值为，数列 $3 ， 2 ， - 1$ 的价值等等.对于“ $3 ， - 1 ， 2$ ”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为 $\frac{1}{2}$ .

根据以上材料，回答下列问题：

(1)、求数列 $5 ， 3 ， - 2$ 的价值；

(2)、将“ $5 ， 3 ， - 2$ ”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，求取得的价值最小时的数列.

(3)、已知 $a > 0$ ，将“ $2 ， - 9 ， a$ ”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为1，求a的值.

查看试题解析
25. 如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

(1)、将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则 $\frac{O B}{O A}$ 的值为 .

(2)、在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F₁ ，摆放第三个“7”字图形得顶点F₂ ，依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点F_n-1 ， …，则顶点F₂₀₁₉的坐标为 .

查看试题解析
26. 如图，在直角坐标系中，已知点M₀的坐标为（1，0），将线段O M₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁ ，使得M₁ M₀⊥O M₀ ，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂ ，使得M₂M₁⊥OM₁ ，得到线段OM₂ ，如此下去，得到线段OM₃ ， OM₄ ， …，OM_n

(1)、写出点M₅的坐标；

(2)、求△M₅OM₆的周长；

(3)、我们规定：把点M_n（x_n ， y_n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x_n ，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点M_n的“绝对坐标”．根据图中点M_n的分布规律，请你猜想点M_n的“绝对坐标”，并写出来．

查看试题解析
27. 如图，一组抛物线的顶点A₁（x₁ ， y₁），A₂（x₂ ， y₂），…A_n（x_n ， y_n）（n为正整数）依次是反比例函数 $y = \frac{7}{x}$ 图象上的点，第一条抛物线以A₁（x₁ ， y₁）为顶点且过点O（0，0），B₁（2，0），等腰△A₁OB₁为第一个三角形；第二条抛物线以A₂（x₂ ， y₂）为顶点且经过点B₁（2，0），B₂（4，0），等腰△A₂B₁B₂为第二个三角形；…；第n条抛物线以A_n（x_n ， y_n）为顶点且经过点B_n-1（2n-2，0），B_n（2n，0），等腰△A_nB_n-1B_n为第n个三角形．

(1)、写出满足△A_nB_n-1B_n的面积为整数的n的值.

(2)、若第n条抛物线为y=a_nx²+b_nx+c_n满足10a_n+5b_n+c_n=0，称“滑翔抛物线”，试求出满足条件的“滑翔抛物线”解析式为.

查看试题解析