浙教版备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题3 相似形

试卷更新日期：2021-05-16 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）

A、 $\frac{x}{2} = \frac{3}{y}$ B、 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ C、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ D、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$

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2. 如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，DE＝2，EF＝AB＝3，则BC长为（　　）

A、 $\frac{9}{2}$ B、2 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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3. 如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）

A、∠B＝∠D B、∠C＝∠AED C、 $\frac{A B}{A D}$ ＝ $\frac{D E}{B C}$ D、 $\frac{A B}{A D}$ ＝ $\frac{A C}{A E}$

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4. 已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（）对

A、6 B、5 C、4 D、3

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5. 如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（）

A、△ABC∽△A'B'C' B、点C、点O、点C'三点在同一直线上 C、AO：AA'=1∶2 D、AB∥A'B'

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6. 已知平行四边形ABCD，点E是DA延长线上一点，则（）

A、 $\frac{A E}{A D}$ ＝ $\frac{A M}{C D}$ B、 $\frac{A E}{A D}$ ＝ $\frac{E M}{M C}$ C、 $\frac{B M}{C D} = \frac{B F}{B D}$ D、 $\frac{E D}{B C} = \frac{A D}{B M}$

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7. 如图，在6×6的菱形网格中，连结两网格线上的点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM：MN：NB为（）

A、3：5：4 B、1：3：2 C、1：4：2 D、3：6：5

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8. 如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿着BE翻折，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿着EG翻折，使点D落在EF边上的点H处. 若点A，H，C在同一直线上，AB=1，则AD的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5} -1$

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9. 如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AF=2，则线段AE的长是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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10. 如图，在反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ （m为常数，且m＞0）第一象限内图象上取一点P，连接OP₁ ，过P₁作P₁A₁⊥x轴，垂足为A₁；在OA₁的延长线上截取A₁B₁＝OA₁ ，过B₁作OP₁的平行线交反比例函数的图象于P₂ ，过P₂作P₂A₂⊥x轴，垂足为A₂；在OA₂的延长线上截取A₂B₂＝B₁A₂.连接P₁B₁ ， P₂B₂ ，则 $\frac{O A_{1}}{O A_{2}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ m C、（ $\sqrt{2}$ ﹣1）m D、 $\sqrt{2}$ ﹣1

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二、填空题

11. 已知a=4，b=9，c是a，b的比例中项，则c=

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12. 如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么 $\frac{B P}{A P}$ 的值是.

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13. 如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG=EG ，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使 $F C ⊥ l ， B G ⊥ l ， E A ⊥ l ，$ 点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现 $∠ F D C = ∠ E D A$ ，测得CD=12米，DB=6米，AB=12米，则FG=米.

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14. 如图，点G是 $Δ A B C$ 的重心， $C G$ 的延长线交 $A B$ 于点D，连结 $B G$ .若 $Δ B D G$ 的面积为2，则 $Δ A B C$ 的面积为.

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15. 复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为.

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16. 用一张正方形纸片折成一个“小蝌蚪”图案(如图1)。如图2，正方形ABCD的边长为2，等腰直角△ACE的斜边AE过点D，点F为CE边上一点，连结AF交CD于点G，将△AEF沿AF对称得△AE'F，AE'与BC交于点H。当FE'∥CD时，∠E'FA= °；当点G为CD的中点时，则CF的长为。

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17. 如图所示是小明设计带矩形、菱形、正方形图案的一块具有轴对称美的瓷砖作品. 若 $S_{乙} = 2 S_{甲}$ ， $A E = 10 c m$ ，则矩形 $A B C D$ 的周长是 $c m$ .

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18. 图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽 $A B = 1.2$ 厘米，托架斜面长 $B D = 6$ 厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米.将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长 $A G$ 是15厘米，O是支点且 $O B = O E = 2.5$ 厘米（支架的厚度忽略不计）.当支架调到E档时，点G离水平面的距离 $G H$ 为厘米；当支架从 $E$ 档调到F档时，点D离水平面的距离下降了厘米.

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三、综合题

19. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）.

(1)、①将△ABC向右平移4个单位，请画出平移后的△A₁B₁C₁；
②以原点O为位似中心，将△A₁B₁C₁放大为原来的2倍，得到△A₂B₂C₂ ，请在网格内画出△A₂B₂C₂；

(2)、请在x轴上找出点P，使得点P到B与点A₁距离之和最小，请直接写出P点的坐标.

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20. 如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形(宽与长的比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形)，则称这条直线为该矩形的黄金线.例如图1所示的矩形ABCD中，直线EF⊥BC分别交AD、BC于点EF且 $\frac{A E}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，显然直线EF是矩形ABCD的黄金线。

(1)、如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3。请在图中画出矩形ABCD的其中一条黄金线MN，其中M在AD边上，N在BC边上，并标注出线段AM的长度；

(2)、将正方形纸片按图3所示的方式折叠。

如图4所示，按上述方法折叠所得到的折痕GH是否为正方形ABCD的黄金线？请说明理由。

(3)、在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，已知矩形ABCD的黄金线HF恰好将矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则a=(只要求直接写出其中三个答案)。

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21. 某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似.

观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似.

请回答下列问题：

(1)、你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.

(2)、如图3，已知 $Δ A B C$ ，AC=6，BC=8，AB=10，将 $Δ A B C$ 按图3的方式向外扩张，得到 $Δ D E F$ ，它们对应的边间距都为1，DE=15，求 $Δ D E F$ 的面积.

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22. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，⊙B与AB、BC交于E、F，点P是弧EF上的一个动点，连接PC，线段PC绕P点逆时针旋转90°到PD，连接CD，AD.

(1)、求证：△BPC∽△ADC；

(2)、当四边形ABCD满足AD∥CB且是面积为12时，求⊙B的半径.

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23. 矩形ABCD中，AF、CE分别平分 $∠ BAD$ ， $∠ BCD$ ，并交线段BC，AD于点F，E.当动点P从点A匀速运动到点F时，动点Q恰好从点C匀速运动到点B.记AP= $x$ ，BQ= $y$ ，且 $y 与 x 满足关系式：$ $y = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} x + 10$

(1)、判断AF与CE的位置关系，并说明理由.

(2)、求AF，CF的长度.

(3)、①当PQ平行于 $Δ$ ECD的一边时，求所有满足条件的 $x$ 的值.
②连接DB，对角线DB交PQ于点O，若点O恰好为PQ的三等分点，请直接写出 $x$ 的值.

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24. 在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足 $\sqrt{m + 2}$ + ${(n - 2)}^{2}$ ＝0.

(1)、求点A、C的坐标；

(2)、如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB＝90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)、如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合）， $\frac{O M + A N}{B N}$ 的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值.

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25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P，Q在对角线BD上，且BQ＝ $\frac{2}{3}$ BP，过点P作PH⊥AB于点H，连接HQ，以PH、HQ为邻边作平行四边形PHQG，设BQ＝m.

(1)、若m＝2时，求此时PH的长.

(2)、若点C，G，H在同一直线上时，求此时的m值.

(3)、若经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，求此时m的值.

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26. 定义：按螺旋式分别延长n边形的n条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形.例如：如图1，分别延长多边形A₁A₂…A_n的边得A₁′，A₂′，…，A_n′，若多边形A₁′A₂′…A_n′与多边形A₁A₂…An相似，则多边形A₁′A₂′…A_n′就是A₁A₂…A_n的螺旋相似图形.

(1)、如图2，已知△ABC是等边三角形，作出△ABC的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明.

(2)、如图3，已知矩形ABCD，请探索矩形ABCD是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB与BC的比值；若不存在，说明理由.

(3)、如图4，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，分别延长CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形.若AA′＝kAC，请直接写出BB′，CC′的长（用含k的代数式表示）

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