浙教版备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题2 新定义与阅读理解

试卷更新日期：2021-05-16 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 $| \begin{matrix} a \\ c \end{matrix}$ $\begin{matrix} b \\ d \end{matrix} |$ 的意义是 $| \begin{matrix} a \\ c \end{matrix}$ $\begin{matrix} b \\ d \end{matrix} |$ =ad-bc．按照这个规定，若 $| \begin{matrix} x - 2 \\ 2 x - 1 \end{matrix}$ $\begin{matrix} x \\ x - 2 \end{matrix} |$ ＝0，则x的值是（）

A、－4 B、1 C、－4或1 D、不存在

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2. 为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点O）到达点A ，点A对应的数是多少？从图中可以看出OA的长是这个圆的周长π，所以点A对应的数是π，这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来，上述材料体现的数学思想是（）

A、方程思想 B、从特殊到一般 C、数形结合思想 D、分类思想

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3. 阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y=ax²+bx（a≠0），我们把点（ $- \frac{b}{2 a}$ ， $\frac{1 - b^{2}}{4 a}$ ）称为该抛物线的焦点，把y= $- \frac{b^{2} + 1}{4 a}$ 称为该抛物线的准线方程。例如：抛物线y=x²+2x的焦点为（-1， $- \frac{3}{4}$ ），准线方程是y= $- \frac{5}{4}$ 。根据材料，现已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）的焦点的纵坐标为3，准线方程y=5，则关于二次函数y=ax²+bx的最值情况，下列说法正确的是（）

A、最大值为4 B、最小值为4 C、最大值为3.5 D、最小值为3.5

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4. 定义： $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数例如： $[1.7] = 1$ ， $[\frac{3}{5}] = 0$ ， $[- 2 \frac{1}{4}] = - 3$ 根据你学习函数的经验，下列关于函数 $y = [x]$ 的判断中，正确的是（）

A、函数 $y = [x]$ 的定义域是一切整数 B、函数 $y = [x]$ 的图像是经过原点的一条直线 C、点 $(2 \frac{2}{5} ， 2)$ 在函数 $y = [x]$ 图像上 D、函数 $y = [x]$ 的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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5. 在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码，将英文26个字母

a

，

b

，

c

，

\dots

，

z

（不论大小写）依次对应1，2，3，

\dots

，26这26个自然数(见表格)，当明码对应的序号

x

为奇数时，密码对应的序号

\frac{x + 1}{2}

，当明码对应的序号

x

为偶数时，密码对应的序号

\frac{x}{2} + 13

，按下述规定，将明码“

l o v e

”译成密码是：

字母	$a$	$b$	$c$	$d$	$e$	$f$	$g$	$h$	$i$	$j$	$k$	$l$	$m$
序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
字母	$n$	$o$	$p$	$q$	$r$	$s$	$t$	$u$	$v$	$w$	$x$	$y$	$z$
序号	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

A、

s h x c

B、

g a w q

C、

s d r i

D、

l o v e

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6. 图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A_i出现在书B_j中时，元素a_ij＝1，否则a_ij＝0（i ， j为正整数）．例如：当关键词A₁出现在书B₄中时，a₁₄＝1，否则a₁₄＝0．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A₂ ， A₅ ， A₆”的书，则下列相关表述错误的是（）

A、当a₂₁+a₅₁+a₆₁＝3时，选择B₁这本书 B、当a₂₂+a₅₂+a₆₂＜3时，不选择B₂这本书 C、当a_2j ， a_5j ， a_6j全是1时，选择B_j这本书 D、只有当a_2j+a_5j+a_6j＝0时，才不能选择B_j这本书

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (a ， b)$ ，若 $a b > 0$ ，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（）

A、 $y = - x + 1$ B、 $y = x^{2} - 2 x$ C、 $y = - \frac{2}{x}$ D、 $y = x^{2} + \frac{1}{x}$

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8. 定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形，已知点P（m，n）是抛物线y=x²+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（）

A、-12 B、0 C、4 D、16

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9. 定义新运算： $p \oplus q = {\begin{array}{l} \frac{p}{q} (q > 0) \\ - \frac{p}{q} (q < 0) \end{array}$ ，例如： $3 \oplus 5 = \frac{3}{5}$ ， $3 \oplus (- 5) = - \frac{3}{5}$ ，则 $y = 2 \oplus x$ $(x \neq 0)$ 的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= $\frac{p}{q}$ .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= $\frac{3}{4}$ .如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）= $\frac{3}{4}$ ；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 $\frac{3}{4}$ . （）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 阅读材料：如果a^b＝N（a＞0，且a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log_aN．例如2³＝8，则log₂8＝3．根据材料填空：log₃9＝．

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12. 阅读材料：设 $\vec{a}$ ＝（x₁ ， y₁）， $\vec{b}$ ＝（x₂ ， y₂），如果 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则x₁•y₂＝x₂•y₁ ，根据该材料填空，已知 $\vec{a}$ ＝（4，3）， $\vec{b}$ ＝（8，m），且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则m＝.

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13. 请仔细阅读材料并完成相应的任务．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一个整数的立方）．华罗庚脱口而出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？

(1)、由 $10^{3} = 1000$ ， $100^{3} = 1000000$ ，1 $1000 < 59319 < 1000000$ ，确定 $\sqrt[3]{59319}$ 是位数；

(2)、由59319的个位数字是9，确定 $\sqrt[3]{59319}$ 的个位上的数是；

(3)、如果划去59319后面的319得到数59，而 $3^{3} = 27$ ， $4^{3} = 64$ ，确定 $\sqrt[3]{59319}$ 的十位上的数是．

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14. 阅读下列材料，我们知道 $(\sqrt{13} + 3) (\sqrt{13} - 3) = 4$ ，因此将 $\frac{8}{\sqrt{13} - 3}$ 的分子分母同时乘以“ $\sqrt{13} + 3$ ”，分母就变成了4，即 $\frac{8}{\sqrt{13} - 3} = \frac{8 (\sqrt{13} + 3)}{(\sqrt{13} - 3) (\sqrt{13} + 3)} = \frac{8 (\sqrt{13} + 3)}{4}$ ，从而可以达到对根式化简的目的，根据上述阅读材料解决问题：若 $m = \frac{2017}{\sqrt{2018} + 1}$ ，则代数式m⁵＋2m⁴﹣2017m³＋2016的值是．

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15. 阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x₀ ， y₀）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d= $\frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ ．例如：求点P₀（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P₀（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d= $\frac{| 4 \times 0 + 3 \times 0 - 3 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{5}$ ．根据以上材料，解决下列问题：如图，已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，设点P为⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=4，则S_△ABP的最大值．

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16. 阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i²＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；

（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i²＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；

（4+i）（4﹣i）＝16﹣i²＝16﹣（﹣1）＝17；

（2+i）²＝4+4i+i²＝4+4i﹣1＝3+4i

根据以上信息，完成下面计算：

（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）²＝.

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三、综合题

17. 阅读下列材料：
∵ $\sqrt{4}$ ＜ $\sqrt{5}$ ＜ $\sqrt{9}$ ，即2＜ $\sqrt{5}$ ＜3

∴ $\sqrt{5}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{5}$ ﹣2

请根据材料提示，进行解答：

(1)、 $\sqrt{7}$ 的整数部分是．

(2)、 $\sqrt{7}$ 的小数部分为m， $\sqrt{11}$ 的整数部分为n，求m+n﹣ $\sqrt{7}$ 的值．

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18. 先计算，再阅读材料，解决问题：

(1)、计算： $(\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}) \times 12$ .

(2)、认真阅读材料，解决问题：
计算： $\frac{1}{30} \div (\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5})$ .

分析：利用通分计算 $\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5}$ 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：

解：原式的倒数是：

$(\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5}) \div \frac{1}{30}$

$= (\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5}) \times 30$

$= \frac{2}{3} \times 30 - \frac{1}{10} \times 30 + \frac{1}{6} \times 30 - \frac{2}{5} \times 30$

$= 20 - 3 + 5 - 12 = 10$ .

故原式 $= \frac{1}{10}$ .

请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： $(- \frac{1}{52}) \div (\frac{3}{4} - \frac{5}{26} + \frac{1}{2} - \frac{2}{13})$ .

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19. 阅读下列材料并填空

(1)、探究：平面上有n个点(n>2)且任意3个点不在同一条直线上，经过每两个点画一条直线，一共能画多少条直线?根据基本事实，我们知道两点确定一条直线，平面上有2个点时，可以画 $\frac{2 \times 1}{2} = 1$ 条直线，平面内有3个不在同一直线上点时，可画 $\frac{3 \times 2}{2} = 3$ 条直线，那么平面上有4个不在同一直线上的点时，可以画条，平面上有5个不在同一直线上的点时，可以画条，以此类推，平面上有n个不在同一直线上的点时，可以画条

(2)、运用：某足球比赛中有10个球队进行单循环比赛(每两队之间必须比赛一场)，一共进行多少场比赛?

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20. 阅读材料，回答问题：

(1)、中国古代数学著作图 $1 《$ 周髀算经 $》$ 有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．” $.$ 这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为 $5.$ ” $.$ 上述记载表明了：在 $Rt △ ABC$ 中，如果 $∠ C = 90 °$ ， $BC = a$ ， $AC = b$ ， $AB = c$ ，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．

(2)、对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图” $($ 如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形 $)$ ，利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明： $∵ S_{△ ABC =} \frac{1}{2} ab$ ， $S_{正方形 ABCD} = c^{2}$ ，

$S_{正方形 MNPQ} =$ ．

又 $∵$ $=$ ，

$∴ {(a + b)}^{2} = 4 \times \frac{1}{2} ab + c^{2}$ ，

整理得 $a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 ab + c^{2}$ ，

$∴$ ．

(3)、如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果 $AB = 4$ ， $BC = 8$ ，求BE的长．

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21. 阅读材料1：
对于两个正实数 $a ， b$ ，由于 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，所以 ${(\sqrt{a})}^{2} - 2 \sqrt{a} • \sqrt{b} + {(\sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，即 $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ，所以得到 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，并且当 $a = b$ 时， $a + b = 2 \sqrt{a b}$

阅读材料2：

若 $x > 0$ ，则 $\frac{x^{2} + 1}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$ ，因为 $x > 0$ ， $\frac{1}{x} > 0$ ，所以由阅读材料1可得： $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x • \frac{1}{x}} = 2$ ，即 $\frac{x^{2} + 1}{x}$ 的最小值是2，只有 $x = \frac{1}{x}$ 时，即 $x$ =1时取得最小值.

根据以上阅读材料，请回答以下问题：

(1)、比较大小
$x^{2} + 1$ $2 x$ (其中 $x$ ≥1)； $x + \frac{1}{x}$ -2(其中 $x$ <-1)

(2)、已知代数式 $\frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1}$ 变形为 $x + n + \frac{1}{x + 1}$ ，求常数 $n$ 的值

(3)、当 $x$ =时， $\frac{x + 3 + 3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ 有最小值，最小值为(直接写出答案).

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22. 阅读下面材料，完成相应任务：

(1)、小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形.由此判断命题①是命题(填“真”或“假”).

(2)、小彬经过探究发现命题②是真命题.请你结合图2证明这一命题.

(3)、小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若 $A B = A' B'$ ， $B C = B' C'$ ， $C D = C' D'$ ，，，则四边形 $A B C D$ ≌四边形 $A' B' C' D'$ ”请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题.

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23. 阅读下面的材料：

利用分组分解法解决下面的问题：

(1)、分解因式： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4$ ；

(2)、已知△ABC的三边长a ， b ， c满足 $a^{2} - a b - a c + b c = 0$ ，判断△ABC的形状并说明理由．

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24. 阅读材料：

工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工 $.$ 处理这种材料时，材料温度 $y (℃)$ 是时间 $x (min)$ 的函数 $.$ 下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整：

(1)、在这个函数关系中，自变量x的取值范围是．

(2)、如表记录了17min内10个时间点材料温度y随时间x变化的情况：

时间 $x (min)$	0	1	3	5	7	9	11	13	15	17	$\dots$
温度 $y (℃)$	15	24	42	60	$\frac{300}{7}$	$\frac{100}{3}$	$\frac{300}{11}$	$\frac{300}{13}$	m	$\frac{300}{17}$	$\dots$

上表中m的值为．

(3)、如图，在平面直角坐标系xOy中，已经描出了上表中的部分点

.

根据描出的点，画出该函数的图象．

(4)、根据列出的表格和所画的函数图象，可以得到，当

0 \leq x \leq 5

时，y与x之间的函数表达式为，当

x > 5

时，y与x之间的函数表达式为．

(5)、根据工艺的要求，当材料的温度不低于

30 ℃

时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为min．

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25. 阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图1，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数；
为了解决本题，我们可以将 $Δ$ ABP绕顶点A逆时针旋转到 $Δ$ ACP′处，此时 $Δ$ ACP′≌ $Δ$ ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=；

(2)、基本运用：
请你利用第（1）题的思想方法，解答下面问题：

如图2，在 $Δ$ ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°．求证：EF²=BE²+FC²；

(3)、能力提升：在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=4．
①如图3，将 $Δ$ ADE绕点D逆时针旋转90°得到 $Δ$ DCF，连结EF．

a．把图形补充完整（无需写画法）；

b．求EF²的取值范围；

②如图4，求BE+AE+DE的最小值．

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26. 阅读下面材料：

(1)、小亮遇到这样问题：如图1，已知AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线.判断∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系.小亮通过思考发现：过点O作OP∥AB，通过构造内错角，可使问题得到解决.
请回答：∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系是.

(2)、如图2，将△ABC沿BA方向平移到△DEF（B、D、E共线），∠B=50°，AC与DF相交于点G，GP、EP分别平分∠CGF、∠DEF相交于点P，求∠P的度数；

(3)、如图3，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连接FE并延长至点A，连接BA、BC和CA，做∠CBF和∠CEF的平分线交于点M，若∠ADC=α，则∠M=（直接用含α的式子表示）.

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