山东省济南市历城区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $\frac{1}{6}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $- 6$ C、 $6$ D、 $- \frac{1}{6}$

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2. 下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 世界最大的单口径球面射电望远镜（FAST）被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为 $0.00519$ 秒．数据 $0.00519$ 用科学记数法可以表示为（）

A、 $5.19 \times 10^{- 3}$ B、 $5.19 \times 10^{- 4}$ C、 $5.19 \times 10^{- 5}$ D、 $5.19 \times 10^{- 6}$

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4. 如图， $A B / / C D$ ， $B D ⊥ C F$ ，垂足为B ， $∠ B D C = 55 °$ ，则 $∠ A B F$ 的度数为（）

A、 $55 °$ B、 $45 °$ C、 $35 °$ D、 $25 °$

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5. 下面图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某校举办体能比赛，其中一项是引体向上，每完成一次记录1分，达到10个即为满分10分．甲、乙两班各出代表10个人，比赛成绩分别如下，根据表格中的信息判断，下列结论正确的是（）

甲班成绩	7	8	9	10
人数	2	2	3	3
乙班成绩	7	8	9	10
人数	1	2	3	4

A、甲班成绩的众数是10分 B、乙班成绩的中位数是9分 C、甲班的成绩的平均数是8.6分 D、乙班成绩的方差是2

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} - 2 x + 5 \geq 3 \\ 3 (x - 1) < 2 x \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A ， B$ 的坐标分别为 $A (0 ， 6)$ ， $B (- 3 ， - 3)$ ．将线段 $A B$ 平移后A点的对应点是 $A^{'} (10 ， 10)$ ，则点B的对应点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(10 ， 10)$ B、 $(- 3 ， - 3)$ C、 $(- 3 ， 3)$ D、 $(7 ， 1)$

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9. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x.则可列方程为（）

A、 $5000 (1 + 2 x) = 7500$ B、 $5000 \times 2 (1 + x) = 7500$ C、 $5000 {(1 + x)}^{2} = 7500$ D、 $5000 + 5000 (1 + x) + 5000 {(1 + x)}^{2} = 7500$

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10. 如图，扇形 $A O B$ 的圆心角是直角，半径为 $2 \sqrt{3}$ ，C为 $O B$ 边上一点，将 $△ A O C$ 沿 $A C$ 边折叠，圆心O恰好落在弧 $A B$ 上，则阴影部分面积为（）

A、 $3 π - 4 \sqrt{3}$ B、 $3 π - 2 \sqrt{3}$ C、 $3 π - 4$ D、 $2 π$

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11. 共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图， $A B$ 与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线 $B E$ 方向调节．已知， $∠ A B E = 70 °$ ， $∠ E A B = 45 °$ ，车轮半径为 $30cm$ ， $B E = 40 cm$ ，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为 $90cm$ 时骑着比较舒适，此时 $C E$ 的长约为（）（结果精确到 $1cm$ ，参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.9$ ， $\cos 70 ° \approx 0.3$ ， $\tan 70 ° \approx 1.4$ ）

A、 $25cm$ B、 $27cm$ C、 $22cm$ D、 $20cm$

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12. 函数 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ ，当 $0 \leq x \leq m$ 时，此函数的最小值为 $- 3$ ，最大值为1，则m的取值范围是（）

A、 $0 \leq m < 2$ B、 $0 \leq m \leq 4$ C、 $2 \leq m \leq 4$ D、 $m > 4$

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二、填空题

13. 分解因式：a²+2a= ．

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14. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．

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15. 化简： $m (m + 3) - {(m + 1)}^{2} =$ ．

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16. 在一个不透明的盒子中有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出2个球，则摸出的两个球都是红球的概率是．

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17. 甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行．图中的 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别表示甲、乙离B地的距离 $y (km)$ 与甲出发后所用时间 $x (h)$ 的函数关系图象，则甲出发小时与乙相遇．

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18. 如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A D = 2 A B = 12$ ，点E在线段 $B C$ 上，将 $△ E C D$ 沿 $D E$ 向上翻折，点C的对应点 $C^{'}$ 落在线段 $A D$ 上，点M、N分别是线段 $A D$ 与线段 $B C$ 上的点，将四边形 $A B N M$ 沿 $M N$ 向下翻折，点A恰好落在线段 $D E$ 的中点 $A^{'}$ 处．则线段 $M N$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算： ${(2 - \sqrt{3})}^{0} + \frac{1}{\sqrt{2}} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sin 45 °$

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20. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 2 x}{x} \div (x - \frac{4}{x})$ ，其中 $x = 3$ ．

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21. 已知：如图，在菱形 $A B C D$ 中，E ， F分别在边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $C E = C F$ ，求证： $A E = A F$ ．

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22. 某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：

9.6；5；8.6；8.3；9.5；10.3；7.2；6；5.4；7.7；7.6；5.1；12.5；5.5；7.4；7.3；8.1；10.2；9.3；4.8

根据数据绘制了如下的表格和统计图：

换算为体考分数	成绩（米）	频数
10	$x \geq 9.6$	4
8	$7.7 \leq x \leq 9.5$	a
6	$5.3 \leq x \leq 7.6$	7
4	$3.0 \leq x \leq 5.2$	b
合计		20

根据上面提供的信息，回答下列问题：

(1)、统计表中的

a =

，

b =

；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是；

(4)、根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？

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23. 如图，已知 $△ A B E$ ， $A B = B E$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A E$ 于点D ，过D点作 $⊙ O$ 的切线交边 $B E$ 于点C ，交 $B A$ 的延长线于点P ．

(1)、求证： $P C ⊥ B E$ ；

(2)、如果 $P D = 2 \sqrt{3} ， ∠ A B C = 60 °$ ，求 $B C$ 的长．

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24. 某学校为了增强学生体质，加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．

(1)、求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；

(2)、某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买方案．

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25. 如图，直线 $y = x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的交点为 $A (1 ， a)$ ，与x轴的交点为 $B (- 1 ， 0)$ ，点C为双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上的一点．

(1)、求a的值及反比例函数的表达式；

(2)、如图1，当 $O C / / A B$ 时，求 $△ A O C$ 的面积；

(3)、如图2，当 $∠ A O C = 45 °$ 时，求点C的坐标．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = α$ ，点P为线段 $C A$ 延长线上一动点，连接 $P B$ ，将线段 $P B$ 绕点P逆时针旋转，旋转角为 $α$ ，得到线段 $P D$ ，连接 $D B ， D C$ ．

(1)、如图1，当 $α = 60 °$ 时，请直接写出线段 $P A$ 与线段 $C D$ 的数量关系是， $∠ D C P$ 为度；

(2)、如图2，当 $α = 120 °$ 时，写出线段 $P A$ 和线段 $D C$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图2，在（2）的条件下，当 $A B = 2 \sqrt{3}$ 时，求 $B P + \frac{1}{3} P C$ 的最小值．

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27. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 经过点 $A (1 ， - 1)$ 、 $B (- 3 ， 3)$ ，与y轴交于点C ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若点P为该抛物线上位于直线 $A B$ 下方的一点，且点P的横坐标为m ，过点P作 $P Q / / y$ 轴，交线段 $A B$ 于点Q ．
①当 $△ A P Q$ 为直角三角形时，求m的值；

②当 $- 3 < m < 0$ 时，若 $∠ P C A = 3 ∠ A C O$ ，求m的值．

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