天津市西青区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $(- 3) \times 2$ 的结果是（）

A、 $- 6$ B、 $- 1$ C、1 D、6

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2. $2 \cos 30 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管将2020000000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.202 \times 10^{10}$ B、 $2.02 \times 10^{9}$ C、 $20.2 \times 10^{8}$ D、 $202 \times 10^{6}$

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4. 在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $\sqrt{40}$ 的值在（）

A、3和4之间 B、4和5之间 C、5和6之间 D、6和7之间

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7. 方程组 ${\begin{matrix} x - y = 1 \\ 2 x + y = 5 \end{matrix}$ 的解是（　　）

A、 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \end{matrix}$

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8. 如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为（）.

A、（1，2）． B、（2，1）． C、（2，2）． D、（3，1）．

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9. 化简 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b} + \frac{2 a b}{b - a}$ 的结果是（）

A、a+b B、a﹣b C、 $\frac{{(a + b)}^{2}}{a - b}$ D、 $\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}$

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10. 若点 $A (- 1, y_{1}), B (2, y_{2}), C (3, y_{3})$ 在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图像上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $M ， N$ 分别是边 $C D ， B C$ 的中点，P是对角线 $B D$ 上一动点，已知菱形边长为5，对角线 $A C$ 长为6，则 $△ P M N$ 周长的最小值是（）

A、11 B、10 C、9 D、8

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 是常数， $a \neq 0$ ）的顶点坐标是 $(- 2 ， 3)$ ，与x轴的一个交点在点 $(- 4 ， 0)$ 和点 $(- 3 ， 0)$ 之间，其部分图象如图所示．有下列结论：① $4 a - b = 0$ ；②关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 2$ 有两个不相等的实数根；③ $c ⩽ 3 a$ ．其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 计算 $- 6 a b + a b + 8 a b$ 的结果等于．

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14. 计算 $(\sqrt{3} + \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})$ 的结果等于．

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15. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外其他都相同．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．

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16. 将直线 $y = x + 4$ 向下平移3个单位长度，平移后直线的解析式为．

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17. 如图，在边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是边 $A B ， B C$ 的中点，连接 $E C ， F D ，$ 点 $G ， H$ 分别是 $E C ， F D$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长度为.

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18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $△ A B C$ 的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点， $∠ A B C = 45 ° ， ∠ B A C = 30 °$ ，经过点 $A ， B$ 的圆的圆心在边 $A C$ 上．

(1)、线段 $A B$ 的长等于；

(2)、请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足 $∠ P B A = ∠ P C B = 2 ∠ P A B$ ，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）

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三、解答题

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 (2 - x) \geq 2 ① \\ 5 - (2 x + 1) \leq 14 + 3 x ② \end{array}$ 请结合题意填空，完成本题的解答．

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)、原不等式组的解集为．

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20. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：

(1)、本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值是；

(2)、求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)、根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．

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21. 已知 $P A ， P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A ， B ， C$ 为 $⊙ O$ 上一点．

(1)、如图①，若 $∠ A C B = 50 °$ ，求 $∠ A P B$ 的大小；

(2)、如图②，若四边形 $A P B C$ 为菱形，求 $∠ A C B$ 的大小．

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22. 如图，一艘轮船由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东 $70 °$ 方向，且与轮船相距 $80 n mile$ ，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东 $37 °$ 方向．如果轮船继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离 $B D$ 的长（结果取整数）．
参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94 ， \cos 70 ° \approx 0.34 ， tan 70 ° \approx 2.75 ， \sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80 ， \tan 37 ° \approx 0.75$ ．

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23. 已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，图中x表示离开家的时间，y表示张强离家的距离．

(1)、填表：

离开家的时间 $/min$

3

6

15

30

65

离家的距离 $/km$

0.5

2.5

(2)、填空：
①体育场到文具店的距离为 $km$ ；

②张强在文具店停留了 $\min$ ；

③张强从文具店回家的平均速度为 $km / min$ ；

④当张强离家的距离为 $2.4 km$ 时，他离开家的时间为 $\min$ ．

(3)、当 $0 ⩽ x ⩽ 45$ 时，请直接写出y关于x的函数解析式．

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24. 在平面直角坐标系中，等边 $△ A B C$ 的顶点 $A ， B$ 的坐标分别为 $(5 ， 0) ， (9 ， 0)$ ，点D是x轴正半轴上一个动点，连接 $C D$ ，将 $△ A C D$ 绕点C逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ B C E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、如图①，当点D在线段OA上时，求点C的坐标；

(2)、如图②，当点D在线段AB上，且 $∠ A C D = 30 °$ 时，求点E的坐标；

(3)、当 $△ B D E$ 是直角三角形时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

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25. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x - 3$ 与x轴交于 $A ， B$ 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ．直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， D$ 两点，与y轴交于点E ，点D的坐标为 $(4 ， - 3)$ ．

(1)、求该抛物线的顶点坐标及直线l的函数解析式；

(2)、若点P是抛物线上的点，且点P的横坐标为 $m (m ⩾ 0)$ ，过点P作直线 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为M ．直线 $P M$ 与直线l交于点N ，当点N是线段 $P M$ 的三等分点时，求点P的坐标；

(3)、若点Q是y轴上的点，且 $∠ A D Q = 45 °$ ，求点Q的坐标．

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离开家的时间 $/min$	3	6	15	30	65
离家的距离 $/km$	0.5		2.5